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1、渗透在棱柱中的数学思想方法上海市莘庄中学 刘 坤 201100棱柱体是立体几何中常见的重要模型之一，总结渗透在其中的数学思想方法，对提高我们的学习能力会有事半功倍的功效。一、转化的思想方法在棱柱中的应用转化思想是指：解题时常会遇到一些直接求解困难的问题，需要把它化成相对于自己来说是熟识的类型或分解为若干个难度较小的问题来求解，最终达到解答原问题的目的。例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1、B、C1的平面与平面ABC的交线记作l。（1）判断A1C1与直线l的位置关系，并证明。（2）若AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,求顶点A1到直线l的距离。分析：这是一类较简单的转化
2、问题。问题（1）要判断并证明线线平行关系，常常转化为证明线面平行；问题（2）中要求点A1到直线l的距离由（1）可转化为求点B到直线A1C1的距离。解：（1） A1C1AC，A1C1平面ABC，又过A1、B、C1的平面与平面ABC的交线为l， 由线面平行的性质定理有A1C1直线l；（2） A1C1l， A1到直线l的距离等价于点B到直线A1C1的距离，方法一 过点B作BHAC，过H作HDA1C1交A1C1于点D，连结BD，则BD就是所求。在ABC中，易求BH=，又DHA1A，所以DH=1，在BHD中，易求BD=，即点A1到直线l的距离为方法二 在A1BC1中，易求A1B=,C1B=,A1C1=5
3、，由三角形等面积法可求解为。在立体几何中，证明线线平行、线面平行、求两异面直线所成的角、点到线（面）的距离等常常用到转化思想，化难为易，化陌生为熟识。例2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱BC上一点，在截面ADC1中，ADC1=90,求：（1）点到B1截面ADC1的距离；（2）二面角D-AC1-C的大小。分析：问题（1）是求点到面的距离可转化为等体积法求三棱锥B1-ADC1的高；问题（2）去掉枝叶就是我们常见的模型：AC是圆的直径，D为圆上任意一点（不同于A、C），C1C垂直圆所在的平面，求二面角D-AC1-C的大小。解：（1）方法一 ADC1=90, ADDC1，又
4、ADC1C，所以AD面BB1C1C，过B1作B1MDC1，交DC1于M， 则B1M面ADC1，B1M就是所求。在Rt B1MC1中，B1C1=2，tanB1C1M= tanCDC1=2，B1M=。即到B1截面ADC1的距离为。 当点在平面的射影不能确定或难以确定时，我们通常将点到面的距离转化为等体积问题求高。方法二 点B1到截面ADC1的距离就是三棱锥B1-ADC1的高， ADC1=90, ADDC1，又ADC1C，所以AD面BB1C1C, 得ADBC， D为BC的中点，由得： 即到B1截面ADC1的距离为。（2）方法一 过点C作CHDC1于H点，则CH面ADC1，过H作HEAC1于E点，连结
5、CE，则CEH就是所求二面角的平面角。在Rt CHE中，易求CEH=，即二面角D-AC1-C的大小为。方法二 过点D作DGAC于G点，则DG面ACC1，过点G作GFAC1交AC1于点F，连结DF，则DFG为所求二面角的平面角。（计算略）二、特殊化的思想方法在棱柱中的应用“特殊化方法”是一种重要的数学思想方法，灵活应用特殊化方法来解答客观题，常会事半功倍，巧妙地举出特殊值来思考综合性问题，常会在迷失中找到目标，给我们指明方向。在立体几何多面体中，用活特殊化方法，能轻松地帮助我们降低难度，更准确解决问题。例3 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1B1BA的面积为S，侧棱C1C到侧面A1B1BA的距离为h，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积。分析：若三棱柱为特殊的直三棱柱，则其体积为，所以这题的结论应为，为解题找到了目标。本题可用割补法求解。解：方法一 如图，将三棱柱补成一个四棱柱，显然四棱柱的体积为Sh，所以三棱柱的体积为。方法二 根据三棱锥的体积推导方法得：将三棱柱分解成三个三棱锥得三部分体积相等，有：。例4 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为棱BB1和CC1上的点，且CF=B1E，若，则 。解:可取特殊情况：当CF=B1E=0时，F与C重合，E与B1重合，则可由三棱锥体积推导方法得：。
