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1、甘肃省兰州第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理说明：本套试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则 （ ）ABCD2设，则 （ ）A2B CD13已知，则= ( )AB3C6D 124下列说法不正确的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B“”是“”的充分不必要条件C若为假命题，则均为假命题D若命题：“，使得”，则“，均有”5已知平面向量满足，且，则与的夹角为(
2、)ABCD6设，若2是与 的等比中项，则的最小值为（ ）A16B8C4 D27若双曲线 的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双 曲线的离心率为 （ ）A2 B C D8某程序框图如图所示，则输出的结果等于（ ）A43 B28 C16 D79函数的图象可能是（ ）A BC D10我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A B160 C D6411若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )A B
3、C D12已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ）A B C D第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13甲、乙两校各有3名教师报名支教若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为_ _.14直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，已知，则线段的中点到准线的距离为_15已知定义域为的奇函数满足，且当时，则_ _.16已知向量满足，则的最大值为_ _.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（本题满分12分）已知
4、函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2（1）求函数的解析式；（2）若函数的零点为，求18（本题满分12分）已知等比数列的前项和为成等差数列，且 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19（本题满分12分）如图，在中，点在边上，为垂足.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.20（本题满分12分）设函数（为常数）.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在内存在唯一极值点，求实数的取值范围，并判断 是在内的极大值点还是极小值点.21（本题满分12分）已知函数（为实数常数）（1）当时，求函数在上的单调区间；（2）当时，成立，求证：（二）选考题：共 10 分
5、请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（本题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）为曲线上的动点，点在线段上，满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值23（本题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数的最小值为M（1）求M；（2）已知实数满足，求的最小值兰州一中2020-1学期高三年级期中考试试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案ADBCCBABCA
6、AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17（本题满分12分）已知函数（）的图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2（1）求函数的解析式；（2）若函数的零点为，求【解析】（1）由题意知，振幅A=2，周期T=，将点代入得：，又，故 6分 （2）由函数的零点为x0知：x0是方程的根，故，得sin（2x0+）=,又（2x0+）+（-2x0）=， 12分18（本题满分12分）已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所
7、以，即.又，所以，所以，所以等比数列的通项公式. 6分（2）由（1）知 ，所以所以数列的前 项和： . 12分19（本题满分12分）如图，在中，点在边上，为垂足.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.【解析】（1）由已知得 又 解得 ， 在中，由余弦定理得 即的长为3. 6分 （2）由已知得，为中点，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，又， . 12分 20（本题满分12分）设函数（为常数）.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在内存在唯一极值点，求实数的取值范围，并判断是在内的极大值点还是极小值点.【解析】（1）当时，所求切线的斜率，又.所以曲线在处的切线方程为. 5分
8、（2）.又，则要使得在内存在唯一极值点，则在存在唯一变号零点，即方程在内存在唯一解，即与在范围内有唯一交点.设函数，则，在单调递减，又；当时，时，与在范围内有唯一交点，设为.当时， ，则，在为减函数；当时，则，在为增函数.即为函数的极小值点.综上所述：，且为函数的极小值点. 12分 21（本题满分12分）已知函数（为常数）（1）当时，求函数在上的单调区间；（2）当时，成立，求证：【解析】（1），当时，由得，解得，由得，解得，所以函数在的单调递增区间是，单调递减区间是5分 （2） 当时，由得即恒成立（*），设，则，由题可知当时，所以在上单调递增，可知且时，使得，可知（*）式不成立，则不符合条件；
9、当时，所以在上单调递减，可知（*）式成立，则符合条件，所以成立；当时，由得，由得，所以在上单调递增，可知在上单调递减，所以，由（*）式得，设，则，所以在上单调递减，而，可知综上所述， 12分 22（本题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值【解析】（1）设点的极坐标为（）（0），的极坐标为（），由题设知=，=.由得的极坐标方程因此的直角坐标方程为. 5分 （2）设点的极坐标为 （）.则，于是面积当时，的面积取得最大值. 所以面积的最大值为. 10分 23（本题满分10分）已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若实数满足，求的最小值.【解析】（1），如图所示：， . 5分 (2) 由（1）知，当且仅当，时值最小.的最小值为3. 10分（注：柯西不等式也可）
