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1、数值计算方法试题一一、填空题(每空1分，共17 分)1、如果用二分法求方程x3 + X-4二0在区间1,2内的根精确到三位小 数，需对分()次。2、迭代格式X = xk +a (x：-2)局部收敛的充分条件是取值在k+1kk( )。X 30 X 1S (x) = 13、已知 2(X -1)3 + a(X -1)2 + b(X -1) + c 1 X 2时k=0(x4 + x2 +3)1 (x) =k kk)。5、设f (x) = 6x7 + 2x4 + 3x2 +1 和节点 xk=k /2, k = 0,1,2，,则 f xo, x,x”=和 A7 f0 =。6、 5个节点的牛顿-柯特斯求积公
2、式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。7、 b k (x)h是区间0,1上权函数P (x) = x的最高项系数为1的正交多项kk =0式族，其中 Q 0( x) = 1，贝I” 旳 4(x)dx =。f x - ax = b1 2 18、给定方程组-ax1 + x2 = b2 , a为实数，当a满足，且0 2时，SOR迭代法收敛。f y = /(x, y)9 、 解初值问题i y(x0)= y0的改进欧拉法y0 = y + hf (x , y )n +1nn nhy = y + = f (x , y ) + f (x , y )曰i n+1n 2 n nn +1 n +1 是阶方法
3、。1010、设La aaa1 -，当 a e ()时，必有分解式A = LLT，其中l为下三角阵，当其对角线元素1卫二123)满足()ii条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题(每题2 分)1、解方程组Ax = b的简单迭代格式x(k+1)二Bx(k)+ g收敛的充要条件是( )。(1)P(A) 1,(2) p(B) 1,(4) p (B) 12、在牛顿-柯特斯求积公式V (X)dX (b 一 a) C(n) f (X )中，当系数C( n)=0是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1) n 8，(2) n 7，(3) n 10，(4) n
4、 6，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()1)二次； ( 2)三次； ( 3)四次； ( 4)五次hh4、若用二阶中点公式yn+1 = yn + hf (Xn +歹n + 4 n 歹n 求解初值问题 y = -2y,y(0) = 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为 ( )。(1)0 h 2,(2)0 h 2,(3)0 h 2,(4)0 h 8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。Jbf (x)dx q 工 A.f (x.)3、形如ai=1 11的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数
5、精确度的次数为2n +1。()A =4、矩阵2a0 010、1112丿的2范数|All2 =9。(A =5、设，则对任意实数a HO，方程组Ax二b都是病态的。)Q e Rnxn，且有 QtQ = I (单位阵)，则有 UAL = Qa2。 )(用 卜L) 设 A e Rnxn ,(区间kb上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。 ()对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：厂2:4 厂2(、填空题1、设 f (x) = 9 x 8 + 3x 4 + 21x 2 +10，则均差f 2o,2i,.,28 =， f 3o,3i,39 =。2、设函数f (x)于区间L,b上有足够阶
6、连续导数，p e la,b为f (x)的/(xk)xk 亠 1 二 xk - m一个m重零点，Newton迭代公式f(S)的收敛阶至少是 阶。3、区间L,b上的三次样条插值函数S(x)在L,b上具有直到 阶的连续导数。 0）的迭代公式为:1ax =（x +） x 0 k = 0,1,2 k+12 k x 0证明：对一切k =1,2,x a，且序列匕是单调递减的，kk从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式”（x）dx訶（1） + f （2）是否为插值型求积公 式?为什么?其代数精度是多少?七、（9分）设线性代数方程组AX = b中系数矩阵A非奇异，X为精确解，b丰0，若向量X是AX = b的
7、一个近似解，残向量r = b- AX，证明估计式：cond(A)卩 bll假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、（10分）设函数f （x）在区间b,3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H（x），并导出 其余项。i0xi0f (xi)-1八xi)3121213九、(9分)设b (x)是区间a,b上关于权函数w(x)的直交多项式序n列，x (i 二 1,2,n,n +1)为p (x)的零点，in+1li(x)(i = h2,n，n +1)是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，bf(X)W(X)dX丞Akf(Xk)为高斯型求积公式，证明:k=1迟 A p (x )p (x ) = 0 (1)(1)当 0 k, j n, k 丰 j 时，i k i j i=12)J bl (x)l (x) w(x)dx = 0(k 丰 j)a k j J bl 2( x) w( x)dx = Jb w(x)dxa kak=1( 3 )十、(选做题8分)若 f (x) = n+1( x) = (x - x0)( x - x1)(x - xn )x (i = 0,1,n)互异求/
