《人教A版理科数学高效训练：77 立体几何中的向量方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版理科数学高效训练：77 立体几何中的向量方法（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 精品资料A组基础演练能力提升一、选择题1若直线l的一个方向向量为a(2,5,7)，平面的一个法向量为u(1,1，1)，则()Al或lBlCl Dl与斜交解析：au2151(1)70，l或l.答案：A2.如图，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为()A30 B45来源:数理化网C60 D90解析：取AC的中点D，连结DE、DF，则EDF或其补角为AB与PC所成的角，利用余弦定理可求得EDF120，所以异面直线AB与PC所成的角为60.故选C.答案：C3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，
2、且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D、AC之一垂直BEF是A1D、AC的公垂线CEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC，故选B.答案：B4.如图所示 ，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos ，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空
3、间直角坐标系，则点E的坐标为()A(1,0,1)B(1,1,1)C(2,1,1) D(2,0,1)解析：设PDa，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，(0,0，a)，由cos ，a ，a2.E的坐标为(1,1,1)答案：B5.如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2，AD，E是SD上的点则二面角CASD的余弦值为()A. B.C. D.解析：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0)，A(，0,0)，B(，0)，C(0，0)，S(0,0,2)，设E(0,0，m)(0m2)，得(，0，2)，(0，2)设平面ACS的一个法向量为n(
4、x，y，z)，则即取z，得n(2,2，)易知平面ASD的一个法向量为(0，0)设二面角CASD的大小为，则cos .即二面角CASD的余弦值为.答案：D6.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A.B.C2D.解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a
5、,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos 60，得，即a，故AD.答案：A二、填空题7在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_解析：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：8(2014年金华模拟)P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析：不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F.EPMFPN45，PEa，
6、PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.答案：909已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_解析：以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设，可得P(，)，再由cosAPC可求得当时，APC最大，故VPABC11.答案：三、解答题10.(2013年高考山西卷)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D
7、的夹角的大小来源:解析：(1)证明：证法一由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，A1C平面BB1D1D.证法二A1O平面ABCD，A1OBD.又底面ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂线，A1AA1C，且AC2，AC2AAA1C2，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又BB1AA1，A1CBB1，A
8、1C平面BB1D1D.(2)设平面OCB1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |cos n，|.又0，.11如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB2，DC1，BC，ABAD.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60，如图(2)(1)求证：AE平面BDC；(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值解析：(1)证明：取BD的中点F，连接EF，AF，则AF1，EF，AFE60.由余弦定理知AE，AE2EF2AF2，AEEF，又BD平面AEF，BDAE，AE平面BDC.(2)以E
9、为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C，B，D设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，由得，取z，则y3，n(0，3，)来源:，cosn，.故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为.12(能力提升)(2014年济宁模拟)如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC平面ABCD，AB1，AD2，ADC60，AF.(1)求证：ACBF；(2)求二面角FBDA的余弦值解析：(1)证明：CDAB1，AD2，ADC60，AC，CD2CA2AD2，CDCA.又EC平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，其中C(0,0,0)，D(1,0,
10、0)，A(0，0)，F(0，)，B(1，0)来源:数理化网(0，0)，(1,0，)，(1，)，(2，0)0，ACBF.(2)平面ABD的一个法向量n(0,0,1)，设平面FBD的法向量m(x，y，z)，由得，令z1得，m(，2,1)，cosm，n.故所求二面角FBDA的余弦值为.B组因材施教备选练习1.(2013年高考重庆卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1)求PA的长；(2)求二面角BAFD的正弦值解析：(1)如图，连接BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，
11、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OCCDcos1，而AC4，得AOACOC3，又ODCDsin，故A(0，3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，F.又，(，3，z)，因AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以|2.PA的长为2.(2)由(1)知(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得来源:因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而法向量n1
12、，n2的夹角的余弦值为cos n1，n2.故二面角BAFD的正弦值为.2.(2014年石家庄质检)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP平面ACC1A1？若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由解析：(1)证明：连接AC1、BC1，则ANNC1，因为AMMB，所以MNBC1.又BC1平面BCC1B1，MN平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1.(2)作B1OBC于O点，连接AO，因为平面BCC1B1底面ABC，所以B1O平面ABC，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0，)由，可求出A1(1，)，C1(2,0，)，假设在线段A1C1上存在一点P，使得平面B1CP平面ACC1A1，设(0且1)，则可以求得P，(1,0，)设平面B1CP的法向量为n1(x，y，z)，由，得，令z1，解得n1.同理可求出平面ACC1A1的一个法向量n2(，1，1)由平面B1CP平面ACC1A1，得n1n2
