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1、来源：591UP一、重点论述1.实际背景曲线的切线、观测思考:观测图形得出,相切也许不止一种交点,有惟一交点的也不一定是相切。因此对于一般的曲线,必须重新谋求曲线切线的定义。 、曲线的切线:一般地,已知函数的图象是曲线C,P()，Q（）是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线绕着点P转动。当点Q沿着曲线无限接近点P,即趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一种极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。此时,割线Q的斜率无限趋近于切线P的斜率k，也就是说,当趋向于时,割线Q的斜率的极限为k。 平均速度与瞬时速度、平均速度:如图是函数h(t）= -4.9t2 .5t+1的图像,结合
2、图形可知,，因此,虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际状况是运动员仍然运动,并非静止,可以阐明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。、瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映她在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?例如,时的瞬时速度是多少？考察附近的状况:显然,当趋近于时,即无论从不不小于2的一边,还是从不小于2的一边趋近于时,平均速度都趋近于一种拟定的值。从物理的角度看,时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度,因此,运动员在时的瞬时速度是。从数学的角度看,可表达为。它表白“当,趋近于时,平均速度趋近于定值”, 这个定值就
3、是某时刻的瞬时速度。、平均速度与瞬时速度关系：局部以匀速替代变速,以平均速度替代瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。这就是函数在某点处导数产生的实际背景。2. 函数的导数 导数概念、函数在某点处导数的定义:设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量,如果时,与的比(也叫函数的平均变化率）有极限,即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即。、定义阐明:(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。（2）在定义导数的极限式中,趋近于可正、可负、但不为,而也许为。（)是函数对自变量在范畴内的平均变化率,它的几何意义是过曲线上
4、点()及点)的割线斜率。(4)导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢限度,它的几何意义是曲线上点()处的切线的斜率。(5)导数是一种局部概念,它只与函数在及其附近的函数值有关,与无关。()在定义式中,设,则，当趋近于0时,趋近于,因此,导数的定义式可写成。(7）若极限不存在,则称函数在点处不可导。(8)若在可导，则曲线在点()有切线存在。反之否则,若曲线在点()有切线，函数在不一定可导，并且,若函数在不可导,曲线在点()也也许有切线。、导函数:（1)导函数定义:如果函数在开区间内的每点处均有导数,此时对于每一种,都相应着一种拟定的导数,从而构成了一种新的函数。称这个函数为函
5、数在开区间内的导函数,简称导数，也可记作,即.()导函数与函数在某点处导数的关系:函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值,即。因此函数在处的导数也记作。（）定义阐明：1)如果函数在开区间内每一点均有导数,则称函数在开区间内可导。2)导数与导函数都称为导数,这要加以辨别:求一种函数的导数,就是求导函数；求一种函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。）求导函数时,只需将求导数式中的换成就可,即=。、求函数的导数的环节：:(1)求函数的变化量;(2）求平均变化率;(）取极限,得导数。几何意义:、曲线的切线：（1)曲线切线的定义：如图,设曲
6、线是函数的图象,点是曲线c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P,割线P无限地趋近于某一极限位置P。我们就把极限位置上的直线P,叫做曲线c在点P 处的切线。(2)拟定曲线在点处的切线斜率的措施:设割线PQ的倾斜角为,切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线P是切线,因此割线P 斜率的极限就是切线PQ的斜率n，即tan=。、导数的几何意义：函数y=f（x)在x=0 处的导数等于在该点处的切线的斜率,即。、求曲线在某点处的切线方程的基本环节:如果在点可导,则求曲线在点处的切线方程的基本环节为()求出点的坐标;（2)求出函数在点处的变化率 ,得到曲线在点的切线的斜率；(3)
7、运用点斜式求切线方程,即。3. 导数的运算基本初等函数的导数公式：函数导数求导法则:、四则运算求导法则：法则:两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即（或）。法则2:两个函数积的导数,等于第一种函数的导数乘以第二个函数,加上第一种函数乘以第二个函数的导数,即(或)。特别地,即常数与函数的积的导数,等于常数与函数的积的导数。两个可导函数的和、差、积一定可导;两个不可导函数和、差、积不一定不可导.法则3:两个函数商的导数,等于被除数函数的导数乘以除数函数,减去被除数函数乘以除数函数的导数，再除以除数的平方,即(或)。、复合函数求导法则:()复合函数:一般地,对于两个函数和,如
8、果通过变量，可以表达到的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中称为中间变量。()复合函数的导数:复合函数的导数和函数和的导数间的关系为: 对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。若,则。(3）复合函数的求导法则:复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数，即.复合函数求导的基本环节:分解求导相乘回代。5. 导数的应用导数概念的应用;导数运算的应用;导数几何意义的应用;导数的综合应用。三、案例分析案例1：用导数的定义求下列函数的导数：()求函数在点x=1处的导数;()求函数的导数。分析：(1)小题用函数在某点处导数的定义求导;(2）小题用导函数的定
9、义求导。解：()(2) 案例2:求下列函数的导数:(1) ;(2)(3)； (4)【答案】（1) ；();(）；（4)。 分析：用基本初等函数的导数公式、四则运算求导法则、复合函数求导法则求函数的导数。(1)小题用商的求导法则求导;(2)小题用商与积的求导法则求导；()小题的复合函数分解为，用复合函数求导法则求导；(4)小题先用积的求导法则,进而把分解为,把分解为，用复合函数求导法则求导。解：（1)(2) (3）令,则。(4）令,，则。案例3：（) 若(x0)=， =_.（2） 求过点(2，0）且与曲线相切的直线方程。（3）已知曲线:y=x3 3x2 +2x,直线l:y=kx,且l与切于点(x
10、0，0 )(x 0),求直线l的方程及切点坐标。【答案】(1)-1; (2);(3) l方程y- 切点（,-）。分析：(1）根据导数的定义f(x0)=，运用换元法，令,可求得的值。（2）由于点不在曲线上,不是切点,须设切点,于是切线的斜率为，从而可求得切点和切线的方程。（3) 由l过原点，知k=(x00)，切点在曲线C上，过切点的切线的斜率为,于是可求得切点的坐标,进而求得直线的方程。解:（1） 根据导数的定义,f(0 )=(这时) 。(2)显然,点不在曲线上,设切点为，则过切点的切线斜率为,相应的切线方程为。点在切线上,又，消去得，解得，。因此所求的切线方程为。（3）点是切点,。又y2 -6
11、x2,。又=，3x0 2 -6x0 +2x x0 +，即2x02 3x ,解得0 =0或x0 =。由x知x=。0 =（)3-3()2 +2=。因此所求的直线l的方程为 , 切点坐标为。案例4:已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相似。(1)若=1，求b的值;(2)用a表达b,并求b的最大值。【答案】（1);(2)，。 分析:“公共点处的切线相似”是核心，抓住它“顺藤摸瓜”。因此设公共切点为，则求得，从而建立与的关系。若把当作的函数，则用导数法求的最大值。解：(1)设公共点为,且在公共点处的切线相似，则必然在点处的切线斜率相等。即由(1）得,解得。,。若,则,由
12、(2)得 。（2）,。用导数法求的最大值：,令,得。函数在内递增,在内递减,函数在处获得极大值,定义域内唯一的极大值就是最大值。因此的最大值是。案例5:运用导数求和() =1+2xx2 nxn-1（x0，nN* ）(2)Sn=C+2C+C+n,(N*)【答案】(1）；(2)。 分析：这是波及数列前项和的问题，运用数列前n项和的导数等于导数的和的关系解决。解：(1)当x=时S1+2+3+n=n(n+1);当x1时，x+x2 +x +xn=,两边都是有关x的函数,求导得(xx2 +x3 +xn）=()即n=1+2xx +nxn - （2)(1+x) =+Cx+C2 +xn ,两边都是有关x的可导函
13、数,求导得n(1） 1 =C+2C+3Cx2 +nCn - 1 ,令x得, - 1 =C+2+3C+n，即S=+2C+n=n - 1四、总评)深刻理解导数的概念,理解用定义求简朴的导数.表达函数的平均变化量,它是x的函数,而f(0 )表达一种数值,即f(x)=,懂得导数的等价形式:.2)对于函数求导，一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不仅要注重求导法则的应用，并且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实行化简时,一方面必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3)复合函数求导法则,像链条同样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的一环。必须对的分析复合函数是由哪些基本函数通过如何的顺序复合而成的,分清其间的复合关系。
