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1、第十章曲线积分曲面积分练习题A组一.填空题1. 设L是 上从经到的曲线段，则= 2.设是从M(1,3) 沿圆 至点 的半圆，则积分 = 3. L是从沿 至点 的曲线段，则 = 4. 设L是从 沿 至点)的曲线段，则 = 5. 设L是 及 所围成的区域D的正向边界，则 + = 6. 设L是任意简单闭曲线，为常数，则 = 7. 设L是平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面区域D的面积等于 8. 常数 k = 时， 曲线积分与路径无关。9.设S是球面 ，则对面积的曲面积分 = 10.设L为, 和为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分 = 11. 设L是从点到的一条线，则= 12
2、. 设L是圆周 , ，则= 13. 设S为曲面， 则= 二、选择题1设，且P,Q在域D内具有一阶连续偏导数，又L：是D内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A若与路径无关，则在D内必有B若与路径无关，则在D内必有单值函数，使得C若在D内，则必有与路径无关。D若对D内每一闭曲线C，恒有，则与路径无关。2已知为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则等于（ ）A-1 B0 C1 D23、设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且，则=（ ）A3/8 B1/2 C3/4 D14设S是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分的值是（ ）A0 ; B; C ; Dp5.设空间区域由曲面与
3、平面围成，其中为正的常数，记的表面外侧为S，的体积为V，则= （ ） A0 BV C2V D3V6. 已知曲线C： 逆时针方向一周，则=（ ）A. 0； B. ； C. ； D. 7. 已知为平面 在第一卦限内的下侧曲面，则=（ ）A. ； B. C. ； D. 8. 单连通区域G内，具有连续的一阶偏导数，则曲线积分与路径无关的充要条件是（ ） A 在G内有一闭曲线 g，使； B 在G内有恒有 C. 在G内有另一曲线C，使；D. 在G内有恒有 9. 设S为平面 在第一卦限内的部分，则=（ ） A ； B. ；C.； D. 10. 设L：，则（ ）A. 与L取向无关，与大小有关； B. 与L取向
4、无关，与大小无关；C. 与L取向有关，与大小有关； D. 与L取向有关，与大小无关；三、计算题1. 计算曲线积分，其中L是圆周 在第一象限中的部分，依逆时针方向。2. 计算，其中是上半球面上侧3. 设L是由 所表示的正向椭圆，计算 I = 4计算，L是点与直线段5计算，L是以，为顶点的三角形闭回路。6计算，L为圆周7计算，L是圆周的闭路8.计算，L分别为下列三种情形。 1）从点经到 2）从点经到 3）从点经到9计算，L是由直线,围成的逆时针闭路。10计算，其中,L是由,及所围成的三角形逆时针闭路。11计算，L是由与，所围成的逆时针闭路。12.计算，L是以,为顶点的三角形正向闭路。13.计算，L
5、是沿椭圆的正向闭路。14.计算，：平面15.计算，S：在第一卦限16计算，：在第一卦限部分。四应用题1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。椭圆,2.设半径为r的球面的球心在定球面 ()上, 问当r取何值时, 球面在定球面内部的哪部分面积最大?3在过点和的曲线族 ,()中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分的值最小4.求，式中为由至的 设连续可导，求，式中C是从到的直线段。五 证明题1. 设函数f(x)在( -,+)内具有一阶连续导数，L是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记（1） 证明曲线积分I与路径L无关；（2）当时，求I的值2. 设L2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点
6、闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：。A组答案一、1. 0；2. 0；3. 0提示： ；4.0,提示：；5. 3/10；6. 0；7. 3/2；8. 2；9. ；10. ；11. ；12. ；13.0；二、 1.C 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B；7. A；8. D；9. D；10. D三、1、 3、0 4、 5、 6、2R2 7、 8、1 9、32 10、1 11、+ 12、-1 13、14、 15、 16、四、1、 2、 3、 是使曲线积分的为最小的曲线。 4、 5、-4B组一、填空题：1、设是顺时针方向的椭圆,其周长为,则 .2、设曲线C为的交线，从原点看去C的方向为顺时针方向，则 . 3、计算，其中. 4、设，则 . 5、设为曲面的外侧，则= .二、解答题：6、计算，为逆时针方向绕圆周一圈的路径。 7、设函数具有连续的二阶导数，且，试确定函数，使，其中是不与轴相交的简单正向闭路径。8、计算，其中是由曲线绕轴旋转成的旋转曲面。 9、空间立体由所围成，的边界面。（1）求曲面积分；（2）若有均匀密度（常数），求。10、设为连续函数，为平面上逐段光滑的闭曲线，证明： B组答案：12 3 4 56 7 8 9(1)；(2)
