排列知识点及题型归纳总结

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1、排列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、特殊元素与特殊位置问题 排列时，某个（或某些）元素一定在（或一定不在）某个（或某些）位置.二、捆绑问题 某些元素作为一个整体在排列中不能分开.三、插空问题 某些元素互补相等.四、定序问题 某些元素相对顺序保持不变.五、其他排列 双排列和有相同元素的排列等.题型归纳及思路提示 题型1特殊元素或特殊位置的排列问题思路提示（1）加法：把全部特殊位置上的元素排好；剩余位置由剩余元素排列（2）减法：取消某些“不能”的限制去排列；减去因此而“扩进”的方法数 注：对于含有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置，有时也采 用间接法，通常有以

2、下解决问题的途径： 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，在减去不合要求的排列数或组合数例12.127个人排成一排.（1）甲在左端，乙不在右端的排列有多少个？（2）甲不在左端，乙不在右端的排列有多少个？（3）甲在两端，乙不在中间的排列有多少个？（4）甲不在左端，乙不在右端，丙不在中间的排列有多少个？（5）甲、乙都不在两端的排列有多少个？解析 左端定甲，右端（去掉甲、乙）有C5，剩余5元任排A;，共qA; -6oo （种）排法.2）加法，以左端分类：乙+5选1人非乙A6 + CiCiA5

3、 = 3720 （种）方法.6 55 5减法： A77甲乙甲乙+A厂 2A6 + A5 = 3720 （种）排法.先定甲位C2，再定中间位C5，共C2C5A广1200 （种）排法.4）解法宜用减法：| 7人全排甲在左或乙在右或丙在中间设A表示甲坐左端，A表示乙坐右端，A表示丙坐中间. i23card （AA77card 甲不在左端，乙不在右端，丙不在中间）二A7 7(card(A )+ card(A )+ card(A )- card(A n A )- card(A n A )- card(A n A )+ card(A n A n A )1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3=A7

4、一3A6 + 3A5 一 A4 = 3216 (种)排法(见容斥原理).7 654解法二：甲不排左端，乙不排右端甲不排左端，乙不排右端，且丙在中间的情形， 3720- A5 -C1C1A4 = 3216种.5444(5)第一步：先排“特位”一一两端A2，第二步：排中间A5，故共有A2A5 = 2400 (种)排法.5555评注 第(2)与(4)题减法用到card(C A)= card(U)- card(A),其中card(A)表示有限集合A中U元素的个数容斥原理：A = Ai U A2 A3,card(A n A )13card (A) = card(A )+card(A )+card(A )

5、-card(A n A )-card(A n A )1 231223card(A n A n A ).123变式1 0 9共10个数字，可组成多少个无重复数字的(1) 四位数；(2) 五位偶数；(3) 五位奇数；( 4 )大于或等于30000的五位数；(5) 在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几；(6) 五位数中大于23014小于43987的数的个数.变式2方程ay = b2x2 + c中的a,b,c g C3,-2,0,1,2,3)，且a,b,c互不相同，在所以这些方程所表示的曲 线中，不同的抛物线共有( ).A.60 条 B.62 条 C.71 条D.80 条变式3 广州亚运会

6、组委会要从小张，小赵，小李，小罗，小王5名志愿者选派4人分别从事翻译、导游、 礼仪、司机4项不同的工作，其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事着4项工作，则共 有( )种选派方案.A.12B.18C.36D.48变式4 一生产过程有4道工序，每道工序需要一个人照看，现从甲、乙、丙等6人中安排4人分别照看 每一道工序，第一道只能从甲、乙中安排1人，第四道工序只能从甲、丙中安排1人，则共有( )种 安排方法.A.24B.36C.48D.72题型2 元素相邻的排列问题思路提示先把排在一起的元素(m个)捆绑成一个板块(有Am种方法)；再把板块当作一个大元素与其他元 m素精心排列.注 对于元

7、素相邻排列问题，通常采用捆绑法，即可以把相邻元素看作一个整体，再参与其他元素的排列. 例12.13 七个人排成一排.(1) 甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？(2)甲、乙相邻，且丙、丁相邻，共有多少种排法？(3) 甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，有多少种排法？(4)甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，有多少种排法？（5）甲、乙之间恰有2人的排法有多少？（6）甲、乙之间是丙的排法有多少？ 解析 甲、乙、丙板块（AI种排法）与其余4人排列共A3A5二720 （种）排法.（2）甲、乙板块（A2种方法），丙、丁板块（A2种方法）与其他3人排列，共A2A2A5二480 （种）排2 22 2 5法.（3）

8、甲、乙、丙板块（A3种排法）与其余4人排列，板块不在两端，共A3C1A4二432 （种）排法.3 334（4）如图12-15所示，甲在两端（Ai种方法），乙、丙板块（A2种方法）与甲相邻，共A1 A2A4二96 （种）2 22245）如图12-16所示，先作甲XX乙出板块（A逍种方法），与其余3个元素排列,排法.甲乙丙图12-15共 A2 A2 A4 =960（种）排法.2 24（6）如图12-17所示，先作 甲|乙|出板块，与其他4个元素排列，共A2As = 240（种） 排法.甲XX乙甲丙乙图 12-16图 12-17评注关键在于板块的形成.变式1 一排8个车位，停5辆不同车，每车位至多停

9、一车.（1）停车的5个车位相邻有多少停法？（2）不停车的3个空位相邻有多少停法？（3）一共多少停法？ 变式2某次文艺汇演要将A, B, C, D, E, F这6个不同节目排成一个节目单（如图12-18所示），如果A, B两个节目要相邻，且都不排在第3个位置，则共有（ ）种节目单的不同排序方式.序号123456节目A.192B.96C.10图| 1 2 - 1 &D.144例12.14 用1,2,3,4,5,6组成无重复数字的六位数，要求任意两个相邻数字的奇偶性不同且1和2相邻，共 有个这样的六位数（用数字作答）.分析 由题意知，这6位数字奇偶相间，且1和2相邻，关键是排1,2的位置.解析 解法

10、一：先排1,2的位置（Ci种方法），再将1,2排列（A2种排法），然后其他位置的元素排列（AiAi522 2种方法），故共有C1 A2 A1 A1 = 40 （种）.522 2解法二：可分三步来做这件事.第一步：将3,5排列，共有A2种排法；第二步：将4,6插空，共有2A2种排法；第三步：将1,2放到3,4,5,622形成的空中，共有Ci种排法.5由分步计数原理得，共有A2( 2A2)Ci = 40 (种).225变式1用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，其中1,2相邻的偶数有个.变式2用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中一个偶数夹在两个奇数之间，这样的五位数有(

11、 )个.A.48 B.12 C.36 D.28题型3 元素不相邻排列问题思路提示步骤1： m个不同的元素在n个不同元素中抽空，先把n个元素排好，有An种排法.m步骤2： n个元素有n +1个空，m个不同的元素互不相邻有Am种排法.n+1步骤3：共有 An Am 种排法.m n +1注 对于元素不相邻的排列，通常采用插空的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素 插在前面元素排列的空当中.例12.15 7个人排成一排. (1)甲乙丙互不相邻，共有多少种排法？(2)甲乙相邻，丙丁不相邻有多少种排法？(3) 甲不与乙相邻，丙不与乙相邻，有多少种排法？解析 (1)共有A4A3 = 1440

12、种排法.(2)甲、乙板块(A2种)与其他3人共4个元素排列，丙、丁在4 525个空中插空，共有A2A4A2 = 960种排法.(3)甲、丙可能相邻也可不相邻，分两类：245甲、乙、丙互不相邻，有 A4A3 =1440种排法.45甲、丙相邻形成板块(A2种排法)与乙在其余4人中插空A2A4A2 = 960，共有1440 + 960 = 2400种排2245法.评注 捆绑与插空同时发生时，先捆后插，如与特殊位(某元不在某位)问题结合宜用减法.变式1 一排8个车位，停5辆不同车，每车位至多停一车.(1) 空车位互不相邻有多少停法？(2) 恰两个车位相邻有多少停法？变式2 某电影院第一排共有9个座位，

13、现有3名观众来就坐.(1) 若3名观众互不相邻，共有多少种坐法？(2) 若3名观众互不相邻，且要求每人左右都至多有两个空位，共有多少种不同的坐法(用数字作答).变式3 2男3女共5个同学站成一排，男生甲不站两端，3女中有且仅有2女相邻，则有( )种不同 的排法.A. 60 B.48 C.42 D.36例12.16 用1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的6位偶数中，1与3都不与5相邻的有（）个.A.72 B.96 C.108 D.144分析 分析用插空法求解时要注意限制条件（六位偶数），3 个偶数形成4个空位，但另3个数只能插入前 3空位中.解析：1,3,5互不相 + 1,3相邻与5不相邻

14、=As A3 + A3A2A3 = 108。故选C. 33333变式1 由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成个无重复数字且2,3不相邻的六位数（用数字作答）.变式2 在一条南北方向的步行街上其中一侧有8块广告牌，广告牌的底色可红可蓝，要求相邻两块广告 牌底色不都为红色，则有（ ）种不同的配色方案.A.55B.56C.46D.47变式3 某仪器显示牌上每个指示灯均能显示红光和蓝光两种颜色，已知一排8只指示灯，每次显示其中 4只，且恰有3只是相邻的，此一排8只指示灯显示个不同信号.题型4 元素定序问题思路提示 先排好非定序元素，从而为定序元素留下空位，定序元素在留下空位中找到位置. 注解决元素定序问题的常用方法有虑它法，只选不排法和全排消序法（除法）3种.例12.17 4男3女坐成一排，且4男不等高，4男自左往右按从高到矮的顺序排列，有多少种不同的 排法？解析 解法一：（定序问题虑它法）先排列3女,剩余4个位置供4男按高矮顺序排列，故为A3 1 = 2107：种）.解法二：（定序问题只选不排法）先选定4男的位置，有C4种方法，3女可以任意排列，4男的顺序7确定，其排列方法只有1种，故有C