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1、2016艺体生文化课-百日突围系列专题三 函数及函数的基本性质函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示.求定义域的基本原则有以下几条：1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：及中底数；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于；5.三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为.【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：分式的分母不能为零；偶次方根的被开方式其值非负；对数式中真数大于零，底数大于
2、零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决典型例题例1函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 分析
3、：本题属于简单函数的定义域求解问题，求解时注意对二次根式中的被开方数列约束条件，并注意分式中对分母的限制条件，以及对数的真数大于零，列出相应不等式求解即可.【答案】【解析】由已知得即或，解得或，故选.例2已知函数的定义域为，则函数的定义域为 分析：本题属于复合函数的定义域问题，在求解该问题时，这属于等量代换，注意还原的与被还原的取值范围的一致性.【答案】【解析】用换元思想，令，的定义域即为的定义域，因为，所以，故的定义域为【练一练趁热打铁】1. 函数的定义域为（ ）A B C D【答案】.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的
4、定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A B C D【答案】B 【解析】 因为的定义域为0，2，所以对，但，故.故选B分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【
5、讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值（5）“分
6、段求解”是处理分段函数问题解的基本原则典型例题例1已知函数 ，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解.例2已知函数，则（ ）A. B. C. D. 分析：本题属于复合型分段函数的求值问题，求值时注意由内到外依次进行，但需要根据自变量的值选择合适的解析式代值求解.【答案】D【解析】，所以.选D.例3已知函数，若，则
7、.分析：本题是分段函数的求值问题，考查由函数值求自变量的值，对于此类问题的求解，只需对自变量属于那段定义域进行分类讨论，在相应的条件下将所得答案是否在对应的定义域内进行取舍，若在，则保留；否则相应的答案就要舍去.【答案】-3【解析】令，得，令，得（舍去），所以.例4设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D.分析：本题考查分段函数不等式的求解，对于此类问题的处理，只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.【答案】A【练一练趁热打铁】1. 设满足，则（ ）A B C1 D【答案】B 【解析】当时，解得，不合题意，舍去；当时，解得，所以.2. 已知函数，若，则实
8、数等于（ ）A B C2 D4【答案】C【解析】因为，所以，由，解得，故选C.3.设，若，则 .【答案】或. 4.已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.【答案】A函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数在区间上是增函数（或减函数），则称函数在区间为单调递增（或单调递减），区间叫做的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上任意两个自变量、，当时，有（或），那么就说函数在区间上是增函数（或减函数）；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是增函数；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数
9、在区间上是减函数.3.基本初等函数的单调性：函数图象参数范围单调区间或单调性一次函数单调递增区间单调递减区间二次函数单调递减区间为；单调递增区间为.单调递增区间为；单调递减区间为.反比例函数单调递减区间为和单调递增区间为和指数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为对数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为幂函数在上递减没有单调性在上递增正弦函数单调递增区间单调递减区间余弦函数单调递减区间；单调递增区间正切函数单调递增区间【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间上的单调性和函数在区间的子区间上的单调性相同；在涉
10、及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数减函数减函数，减函数增函数减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由确定的解集为函数的单调递减区间，由确定的解集为函数的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.2.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同
11、增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.3.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.典型例题例1设则的大小关系是( )（A） （B） （C） （D）【答案】【考点定位】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算
12、的准确性.例2已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.分析：本题属于分段函数的单调性问题，对于分段函数在定义域上的增函数问题，则需要考虑在区间和区间上都是增函数，还需要考虑在处两边函数值的大小关系，从而求出参数的取值范围.【答案】B【练一练趁热打铁】1. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】作出函数的图象如下图所示，结合函数图象可知，函数在上单调递增，由，可得，整理得，解得，故选D.2.，三个数中最大数的是 【答案】【解析】，所以最大.【考点定位】比较大小.【名师点晴】本题主要考查的是比较大小，属于容易题解题时一定要注意重要
13、字眼“最大数”，否则很容易出现错误函数值的比较大小，通过与，的比较大小，利用基本初等函数的单调性即可比较大小函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有（或），那么函数就叫做偶函数（或奇函数）；2.基本初等函数的奇偶性：函数参数取值奇偶性一次函数奇函数非奇非偶函数二次函数偶函数非奇非偶函数反比例函数奇函数指数函数（且）非奇非偶函数对数函数（且）非奇非偶函数幂函数为奇数奇函数为偶数偶函数正弦函数奇函数余弦函数偶函数正切函数奇函数3.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算与是否具备等量关系；（3）下结论；4.利用性质法来判断奇
