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1、 旋转的应用（1）等边三角形中的旋转（利用旋转的方法解决问题）例1、已知P为正ABC内一点若APB=113，APC=123，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形求证：无论P的位置如何，以AP、BP、CP为边都可以构成一个三角形例2 、P为等边三角形ABC内部一点，且P到三角形的三角形顶点的长分别为3，4，5，求CPB的度数和这个等边三角形的面积例3、（1）如图，BCM中，BMC120，以BC为边向三角形外作等边ABC，把ABM绕着点A按逆时针方向旋转60到CAN的位置.若BM2，MC3.求： AMB的度数；求AM的长.（2）如图，ABC中BM=2，CM=3，以BC为边的ABC是等边三
2、角形，求AM的最大值、最小值. AM最大，AM=5 AM最小，AM=1作业：1如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，（1）P是三角形内的一点，且APB=APC求证：PB=PC（2）若P为正方形ABCD内一点，PAPBPC=123试证APB=135 （1） （2） （3）在等边三角形内有一点P连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.2. 已知：在五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180求证：AD是CDE的平分线3请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的
3、思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以APB=150，而BPC=APB=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图2图1图34如图，已知：如图，四边形ABCD中，AD=CD， ，AB2，BC， （1）以线段BD，AB，BC作为三角形的三边， 则这个三角形为 三角形（填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）； 求BD边所对的角的度数； （
4、2）求四边形ABCD的面积5、如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC. 证明：BD2=AB2+BC2. 6、（2011丰台一模）、已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ；（3）如图3，当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数. 图1 图2 图3解：（1）；1（2）； 2（3）以点D为中心，将DBC逆时针旋转6
5、0，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，CD=ED，CDE=60，AE=CB= a，CDE为等边三角形，CE=CD. 4当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CEAE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b；此时CED=BCD=ECD=60，ACB=120，7因此当ACB=120时，CD有最大值是a+b. 图17、（2011房山一模）、已知：等边三角形ABC（1） 如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；图2（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120 求证：PA+PD+
6、PCBD 8、（09崇文一模）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系 图1 图2 图3 旋转的应用（2）等边三角形中的旋转（旋转性质的应用）例1如图，ADB中，ADB120，以AB为边向三角形外作等边ABC，把CAD绕着点C按逆时针方向旋转60到CBE的位置若ADa，BDb求：（1）CDE的度数；（2）求CD的长例2如图，ABC和ECD都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，AC和BE相交于点M，AD和CE相交于点N（1）求证：BCEACD；B
7、CMACN（2）求BE和AD的所成的角的大小例3如图1，已知等边ABC和菱形BDEF，其中DF=DB，连接AF、CD（1）观察图形，猜想AF与CD之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；（2）将菱形BDEF绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边ABC内部，在图2中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在上述旋转过程中，AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的 图1 图2例4 （09宣武一模）如图， 已知等边三角形A
8、BC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时， DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；AEFDBNCM（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由 （图1） （图2） （ 图3） 作业：1
9、、如图，C为BD上一点，分别以BC和CD为边向同侧作等边三角形ABC和ECD，AD和BE相交于点M 探究线段BE和AD的数量关系和位置关系（相等，夹角为60）当绕点C在平面内转动时，线段BE和AD有何关系（相等，夹角为旋转角）2、如图，O是等边ABC内一点，将AOB绕A点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_，图中除ABC外，还有等边三角形是_ 第（2）题图 第（3）题图3、（07陇南中考）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想旋转的应用（3）等腰直角三角形中的旋转引入填空:如
10、图所示，ACB是等腰直角三角形，ACB=90，D为AB上一点，ACE是通过旋转BCD得到的,所以ACE_,于是有CD=_,BD=_,BCD=_,CBD=_,则DCE=_，EAD=_若连结DE,则CED=_，若CGAB,BD=3,DG=2,则DE= 例1：在等腰直角ABC中，D是AB中点，EDF=90，求证：（1） DE=DF.（2）（3）例2、如图，已知ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC边上点，且EAF=45求证：例3、如图1，已知点D在AC上，和都是等腰直角三角形，点M为EC的中点（1）求证：为等腰直角三角形（2）将绕点A逆时针旋转，如图2，（1）中的“为等腰直角三角形”是否
11、仍然成立？请说明理由（3）将绕点A逆时针旋转，如图3，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？（4）我们是否可以猜想，将绕点A任意旋转一定的角度，如图4，（1）中的“为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理由）练习：1、如图，ABC中，ACB=90，AC=BC,P是ABC内的一点，且AP=3,CP=2,BP=1.求BPC的度数. 2、点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN（1）若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则 是 三角形（2）在和中，若BA=BE,BC=BF,且，（如图2），则是 三角形，且 .（3）若将（2）中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
