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1、习题11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为,质量为,求它的弹性系数。解:由公式得:1-2 设有一质量用长为的细绳铅直悬挂着,绳子一端固定构成一单摆,如图所示,假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问:(1) 当这一质点被拉离平衡位置时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样表示?(2) 当外力去掉后,质点在此力作用下在平衡位置附近产生振动,它的振动频率应如何表示?(答:,为重力加速度) 图 习题12解:(1)如右图所示,对作受力分析:它受重力,方向竖直向下;受沿绳方向的拉力,这两力的合力就是小球摆动时的恢复力,方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为
2、,则受力分析可得:(2)外力去掉后(上述拉力去掉后),小球在作用下在平衡位置附近产生摆动,加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知:则 即 即 这就是小球产生的振动频率。1-3 有一长为的细绳,以张力固定在两端,设在位置处,挂着一质量,如图所示,试问: 图 习题1-3(1) 当质量被垂直拉离平衡位置时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样表示?(2) 当外力去掉后,质量在此恢复力作用下产生振动,它的振动频率应如何表示?(3) 当质量置于哪一位置时,振动频率最低?解:首先对进行受力分析,见右图,( , 。) 可见质量受力可等效为一个质点振动系统,质量,弹性系数。(1)恢复平衡的力由两根绳
3、子拉力的合力产生,大小为,方向为竖直向下。(2)振动频率为。(3)对分析可得,当时,系统的振动频率最低。1-4 设有一长为的细绳,它以张力固定在两端,如图所示。设在绳的位置处悬有一质量为的重物。求该系统的固有频率。提示:当悬有时,绳子向下产生静位移以保持力的平衡,并假定离平衡位置的振动位移很小,满足条件。 图 习题14解:如右图所示,受力分析可得 又,可得振动方程为 即 1-5 有一质点振动系统,已知其初位移为,初速度为零,试求其振动位移、速度和能量。解:设振动位移,速度表达式为。由于,代入上面两式计算可得: ;。振动能量。1-6 有一质点振动系统,已知其初位移为,初速度为,试求其振动位移、速
4、度、和能量。解:如右图所示为一质点振动系统,弹簧的弹性系数为,质量为,取正方向沿轴,位移为。 则质点自由振动方程为 (其中) 解得 当,时, 质点振动位移为质点振动速度为质点振动的能量为1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加,试问:(1) 在什么时候位移最大?(2) 在什么时候速度最大?解:, 。令,得:或,经检验后得:时,位移最大。令,得: 或,经检验后得:时,速度最大。1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示试证明 其中,证明: 设 ,则 = (其中)又 又 令 则 1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示 ()试证明,其中解:因为位移是矢量,故可以用
5、矢量图来表示。由余弦定理知,其中,。由三角形面积知, 得 得 故 即可证。1-10 有一质点振动系统,其固有频率f0为已知,而质量Mm与弹性系数Km待求,现设法在此质量Mm上附加一已知质量m,并测得由此而引起的弹簧伸长1,于是系统的质量和弹性系数都可求得,试证明之.证 由胡克定理得 mgKm1 Kmmg/1由质点振动系统固有频率的表达式得,.纵上所述,系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11 有一质点振动系统,其固有频率f0为已知,而质量Mm与弹性系数待求,现设法在此质量Mm上附加一质量m,并测得由此而引起的系统固有频率变为f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得,试证明之。解:由 得 由
6、 得 联立两式,求得,1-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统,试分别写出它们的动力学方程,并求出它们的等效弹性系数。 图 1-2-4图 1-2-3解: 串接时,动力学方程为,等效弹性系数为。并接时,动力学方程为,等效弹性系数为。1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验,弹簧压缩0100可称01。宇航员取得一块岩石,利用此秤从刻度上读得为0.4,然后,使它振动一下,测得其振动周期为1,试问月球表面的重力加速度是多少?而该岩石的实际质量是多少?解:设该岩石的实际质量为,地球表面的重力加速度为,月球表面的重力加速度为由虎克定
7、律知 又 则 则又 则 则故月球表面的重力加速度约为,而该岩石的实际质量约为。1-14 试求证证 同时取上式的实部,结论即可得证。1-15 有一弹簧在它上面加一重物,构成一振动系统,其固有频率为,(1) 假设要求固有频率比原来降低一半,试问应该添加几只相同的弹簧,并怎样联接?(2) 假设重物要加重一倍,而要求固有频率不变,试问应该添加几只相同的弹簧,并怎样联接? 解:固有频率。(1) ,故应该另外串接三根相同的弹簧;(2) ,故应该另外并接一根相同的弹簧。1-16 有一直径为的纸盆扬声器,低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为,弹性系数为。试求该扬声器的固有频率。解:该扬声
8、器的固有频率为 。1-17 原先有一个0.5的质量悬挂在无质量的弹簧上,弹簧处于静态平衡中,后来又将一个0.2的质量附加在其上面,这时弹簧比原来伸长了0.04m,当此附加质量突然拿掉后,已知这0.5质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍,试计算:(1)这一系统的力学参数Km,Rm,f0;(2)当0.2的附加质量突然拿掉时,系统所具有的能量;(3)在经过1s后,系统具有的平均能量。解:(1)由胡克定理知,Kmmg/所以 Km0.29.8/0.04=49N/m故 (2)系统所具有的能量(3)平均能量1-18 试求当力学品质因素时,质点衰减振动方程的解。假设初始时刻,试讨论解的结果。解:系统的振动
9、方程为:进一步可转化为,设,设:于是方程可化为:解得: 方程一般解可写成:存在初始条件:,代入方程计算得:,解的结果为: 其中,。1-19 有一质点振动系统,其固有频率为,如果已知外力的频率为,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解:质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为,质量抗为 已知 , 则 1-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的弹簧上,试问:(1) 这系统的固有频率为多少?(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻,则系统的固有频率变为多少?(3) 当外力频率为多少时,该系统质点位移振幅为最大?(4) 相应的速度与加速度共振频率为多少?解:(
10、1) 考虑弹簧的质量,.(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统,但此时系统的等效质量Mm为Mm+Ms / 3.,.(3) 品质因素,位移共振频率:.(4) 速度共振频率:,加速度共振频率:.1-21 有一质点振动系统被外力所策动,试证明当系统发生速度共振时,系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于。解:系统每个周期损耗的能量 ,发生速度共振时,。 。1-22 试证明:(1)质点作强迫振动时,产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率;(2)假定与为在两侧,其平均损耗功率比下降一半时所对应的两个频率,则有.证明:(1)平均损耗功率为 (为力阻,为速度振幅)质点强迫振动时
11、的速度振幅为 (为外力振幅,为固有频率,为质量,为力学品质因素,频率比)当=1即时,发生速度共振,取最大值,产生最大的平均损耗功率。(2) = 则 即(1) 把带入式(1),则(2) 由式(2)得解得取 解得 取则 即 1-23 有一质量为0.4的重物悬挂在质量可以忽略,弹性系数为160N/m的弹簧上,设系统的力阻为2Ns/m,作用在重物上的外力为。(1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率;(2)假设系统发生速度共振,试问这时外力频率等于多少?如果外力振幅仍为5N,那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少?解:(1)由强迫振动方程,得则位移振幅速度振
12、幅加速度振幅平均损耗功率(2)速度共振时则位移振幅速度振幅加速度振幅平均损耗功率1-24 试求出图1-4-1所示单振子系统,在,初始条件下,强迫振动位移解的表示式,并分别讨论与两种情形下,当时解的结果。解:对于强迫振动,解的形式为:其中,。 初始条件:, 代入得:解得: 令得:。当时, 。 当时,达到位移共振。1-25 有一单振子系统,设在其质量块上受到外力的作用,试求其稳态振动的位移振幅。解:此单振子系统的强迫振动方程为 则 (1) (2) 由式(1)得 令代入式(2)得 则 1-26 试求如图所示振动系统,质量块M的稳态位移表示式.解:对质量块进行受力分析,可得质量块M的运动方程为:该方程
13、式稳态解的一般形式为,将其代入上式可得:其中,.故质量块的稳态位移表示式可以写为:.图 1-4-11-27 设有如图所示的耦合振动系统,有一外力作用于质量上。的振动通过耦合弹簧引起也随之振动,设和的振动位移与振动速度分别为,与,。试分别写出和的振动方程,并求解方程而证明当稳态振动时与。其中,。图 习题1-27解:对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程:设:,于是方程可化为:设:,。对上面的两个方程整理并求解可得1-28 有一所谓压差式传声器,已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为:,其中为常数,为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数,如果传声器采用电动换能方式(动圈式),并要求在一较宽的频率范围内,传声器产生均匀的开路电压输出,试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态?为什么?解:压差式传声器产生的作用力振幅为,其中,为常数,则随变化。电动换能方式传声