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1、高考数学压轴题1 .椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2员相应于焦点F(c,0)(C0)的准线l与x轴相交于点A,OF|2FA,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(1)求椭圆的方程及离心率；uuuuur(2)若OPOQ0,求直线PQ的方程；uuuuur(3)设APAQ(1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明uuuuruuinFMFQ.(14分)2 .已知函数f(x)对任意实数x都有f(x1)f(x)1,且当x0,2时，f(x)|x1|(1) x2k,2k2(kZ)时，求f(x)的表达式。(2) 证明f(x)是偶函数。1C(3) 试问万程f(x)log4-0是否有实数根？若有
2、实数根，指出实数根的个数；若没有实数根,x请说明理由。当3.(本题满分12分)如图，已知点 F (0, 1),直线L: y=-2,及圆 C： x2 (y 3)21。(1) 若动点M到点F的距离比它到直线 L的距离小1,求动 点M的轨迹E的方程；(2) 过点F的直线g交轨迹E于G (Xi, y/ H (x2, y)两 点，求证：X1X2为定值；x -15-10(3) 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为 A、B,要使 四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小 值。10-6102 x 4.以椭圆a2y =1 (a1)短轴一痂点为直角顶点，作椭-8-10圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能
3、作出多少个符合条件的三角形5已知，二次函数f(x)=ax2+bx+c及一次函数g(x)=-bx,其中a、b、cR,abc,a+b+c=0.(I)求证：f(x)及g(x)两函数图象相交于相异两点；(口)设f(x)、g(x)两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为AiBi时，试求|AiBi|的取值范围.32，,6已知过函数f(x)=xax1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为一3。(1) 求a、b的值；(2) 求A的取值范围，使不等式f(x)A-1987对于xG1,4恒成立；2(3) 令gxfx3xtx1o是否存在一个实数t,使得当x(0,1时，g(x)有最大值1?7已知两点M(2,0),
4、N(2,0),动点P在y轴上的射影为H,IPHI是2和PMPN的等比中项。(1) 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；(2) 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程。22anaana8 .已知数列an满足a13a(a0),an1，设bn(1)求数列bn的2anana通项公式；(2)设数列bn的前项和为Sn,试比较Sn与7的大小，并证明你的结论.89 .已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,J2)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线yx对称.(I)求双曲线C的方程；(口)设直线ymx1与双曲
5、线C的左支交于A,B两点，另一直线l经过M(-2,0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；平分线的垂线，垂足为 N,试求点N的轨迹方程.10. f(x)对任意 x R 都有 f (x)f(1 x),一 1、 一 1 一 n 1(i)求 f(一)和 f(一) f() (n2 n n一 一 1(口)数列 an 满足：an = f (0)+ f (-) n(W)若Q是双曲线C上的任一点，EF2为双曲线C的左，右两个焦点，从F/I己、52的1.2N)的值.f(-)f(-1)f(1),数列an是nn等差数列吗？请给予证明；试比较Tn与Sn的大小.11 .如图，设OA、OB是过抛物线y2=2
6、px顶点。的两条弦，且OAOB=0,求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)912 .知函数f(x)=log3(x2-2mx+2m2+m2)的定义域为R(1)求实数m的取值集合M;求证：对meM所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2,并求使函数值等于2的m的值和x的值.o,、4xt13 .设关于x的万程2x2-tx-2=0的两根为，()，函数f(x)=x1(1) .求f()和()的值；(2)证明：f(x)在,上是增函数;(3)。对任意正数x1、x2,求证:f (Jxx)f (Jxx)x1x2x1x22an1一，其中n N*,试比较9T2n与Qn的大小.114 .已
7、知数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的nN,都有4shnI、求数列an的通项公式；II、若2tSn对于任意的nN恒成立，求实数t的最大值.15 .(12分)已知点H(3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP-pM=0,pM=-3MQ,2(1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C;(2)过点T(1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(xo,0),使得ABE为等边三角形，求xo的值.2fn(0)1-16 .(14分)设f1(x)=,7E义fn+1(x)=f1fn(x),an=，其中nGN.1xfn(0)2(1)求数列an的通项
8、公式;2什4nn(2)右T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=24n4n17.已知a=(x,o),b=(1,y),(a+V3b)(a-V3b).(I)求点(x,y)的轨迹C的方程;(II)若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D(0,V),且有|AD|=|BD|,试求m的取值范围.18.已知函数f(x)对任意实数p、q都满足f(pq)f (P)f(q),且f(1)当n N时，求f (n)的表达式;annf(n)(n N ),求证:n3ak -;k 14nf (n 1)设 bn(n N ),f(n)Sn k 1bk，试比较1 ，一，与6的大小.Sk19.已知函数 f (
9、x) log a x(a 0且a1),若数列:2, f (a) f 包)，,f(an),2n4(nN)成等差数列.(1)求数列an的通项an；若0a1,数列an的前n项和为Sn,求limSn；n若a2,令bnanf(an),对任意nN，都有bnf1(t),求实数t的取值范围.20,已知ofq的面积为2J6,且OFFQm.(1)设46m46,求向量OF与FQ的夹角正切值的取值范围;(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q(如图)，|OF|c,m(1)c2,4当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程(3)设F1为(2)中所求双曲线的左焦点，若点，且21AB|=5|FiF|,求线段AB的中点A、
10、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动2.21、已知函数f(x)3xbxan1,f(anan1)g(an1anan2)1求an的通项公式;M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线1是偶函数,n若an22、直角梯形ABCD中/DAB=90,AD/BC,AB=2,31AD=，BC=.椭圆C以A、B为焦点且(D建立适当坐标系，求椭圆C的方程;(2)若点E满足EC1-AB，问是否存在不平行2AB的直线l与椭圆交于M、N两点且|ME|NE|,若存在,求出直线l与AB夹角的范围,若不存在，说明理由.23、.设函数f(x)4x(1)求证：对一切xR,f(x)f(1x)为定值;(2)记 an f(0)f(-) f(
11、-)n1f()f(1)(nnN*),求数列an的通项公式及前n项和.24.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数.当7x0时，f(x)=xx1(I)求当X0时，f(x)的解析式；(II)试确定函数y=f(x)(X0)在1,的单调性，并证明你的结论(iii)右x12且x22,证明：|f(x1)f(x2)|0)交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.(1)用a,t表示4AMN的面积S;(2)若tG1,2,a为定值，求S的最大值.28.bx+c.已知函数f(x)=f的图象过原点，且关于点(-1,1)成中心对称.X+I(1)求函数f(x)的解析式；(2)若数列an(nGN*)满足：an0,&=1,an+1=f(
12、正)2,求数列an的通项公式日,并证明你的结论.30、已知点集L(x,y)|ymn,其中m(2xb,1),n(1,b1),点列Pn(an,bn)在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列an的公差为1,nN。(1)求数列an,bn的通项公式；.5右cn(n2),求lim(GC2g)；n|PPn|n21.经过抛物线y24x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点.(12分)(1)若线段AB的中点为M(x,y),直线的余率为k,试求点M的坐标，并求点M的轨迹方程1(2)若直线l的斜率k2,且点M到直线3x4ym0的距离为1,试确定m的取值范围.5高考数学压轴题参考答案22_1(1)解：由题意，可设椭圆的方程为勺工1(a回。a222。ac2,由已知得a2解彳导a,6,c2c2(c).c2X所以椭圆的方程为62y2A (3,0) o设直线PQ的方程为yk(x3）。由方程组2 X 6y2% 1,k(x 3)2222得(3k1)x 18kx 27k6 0 ,依题意12(23k2)设 P(x1, y1), QM, v2 ，则 x1X218k23k2 1X1X227k23k2 1由直线PQ的方程得y1 k（x1 3）, y2k
