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1、第九节函数模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)“对勾”函数模型f(x)x(a0)2三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，
2、逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax对勾函数yx(a0)在(，和，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减.当x0时，x时取最小值2；当 x0时，x时取最大值2. (1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n1)时，增长较慢；当n值较大(n1)时，增长较快.小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出
3、售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A一次函数模型B幂函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析：选A根据已知数据可知，自变量每增加1，函
4、数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()解析：选C小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过_小时解析：设需经过t小时，由题意知24t4 096，即16t4 096，解得t3.答案：34某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 k
5、m，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是_解析：由题意可得y答案：y5生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件解析：设利润为L(x)，则利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：18典例精析加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)
6、满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t222，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟答案3.75解题技法求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题过关训练1某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系
7、f(x)已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为()A11.5元B11元C10.5元 D10元解析：选A根据题意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5.2某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)(
8、)A30元B60元C28 000元 D23 000元解析：选D设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)当p(0,30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)0，故L(p)在p30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)23 000.分类例析类型(一)构建一、二次函数模型例1某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：项目类别年
9、固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m6,8，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划解(1)由题意得y110x1(20mx1)(10m)x120(0x1200且x1N)，y218x2(408x2)0.05x0.05x10x2400
10、.05(x2100)2460(0x2120且x2N)(2)6m8，10m0，y1(10m)x120为增函数又0x1200，x1N，当x1200时，生产A产品的最大利润为(10m)200201 980200m(万美元)y20.05(x2100)2460(0x2120，且x2N)，当x2100时，生产B产品的最大利润为460万美元(y1)max(y2)max(1 980200m)4601 520200m.易知当6m7.6时，(y1)max(y2)max.即当6m7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当m7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；当7.
11、6m8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润解决一、二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题 类型(二)构建指数函数、对数函数模型例2(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg
12、20.30)A2018年B2019年C2020年 D2021年(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时解析(1)设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元根据题意得130(112%)n1200，则lg130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.
13、050.30，解得n，又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年故选C.(2)由已知得192eb，48e22kbe22keb，将代入得e22k，则e11k，当x33时，ye33kbe33keb319224，所以该食品在33 的保鲜时间是24小时故选C.答案(1)C(2)C指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题 类型(三)构建yax的函数模型例3某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少解设该场x(xN*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费
