三元一次方程组的消元策略

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1、三元一次方程组的消元策略解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，这里的矢键是消元，解题若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确 又快捷，下面介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考策略一若方程组中某个方程缺某个元,则可从另外两个方程消去这个元,转化为二元一次 方程求解”x+3y+ 2z= 2,例1解方程组v 2xy = 7,j3x + 2y-4z = 3 分析：由于方程中缺少 z项，所以先从、消去 乙简解：X +，得5x+8y=7.X 8+，得21x=63，即x=3, 从而，得y=l.把x=3,y=1代入，得z=1.策略二若三个方程中

2、均未缺元，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等（或 成倍数矢系），可消去这个元，转化为二元一次方程组求解*2x + 4y + 3z = 9,例2解方程组23x-2y+5z =11,A5x- 6y + 7z = 13分析：由于三个方程中y的系数成倍数矢系，所以可先消去y.简解：+X2,得8x+13z=31.心 y 2_金,俎 /1v 丄 P-7-OH 日口 7 亠 O-7-C；3丿由、解得x=-1 ,Z=3，从而，得 v_ 1Y 2策略三若均非上述三种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数绝对值的最小公倍数最小的那个元，转化为二元一次方程组求解2x + 3y-4z= 3,例3解方程组-3x

3、+ 4y-5z = 5,5x + 7y + 6z = 23.分析：显然三个方程中x的系数的最小公倍数为最小，应先消去未知数x.简解：X 3X 2,得y-2z=-1. X 5 X 2，得 y-32z=-31.由、解得y=i ,z=i，从而x=2.策略四对于一些特殊的三元一次方程组，可根据其特殊结构，灵活处理例4解方程组Yx+ y =1,y + z =6,z + x ：3.分析：这里的三个方程是循环对称的， 故若将它们整体相加后再分别减去每个方程, 可直接得出方程组的解简解：+得2x+2y+2z=10.即 x+y+z=5.把分别减去、，得 z=4,x=_1 ,y=2.三元一次方程组解法分析解三元一

4、次方程组的基本思路是：将三元一次方程组消元，转化为二元一次方程组或元一次方程通过解二元一次方程组或一元一次方程求到方程组的解下面举例说明x y z 26,例1解方程组xy 1,2xy z 18.分析：观察方程组中的三个方程，其中方程不含有未知数z,可通过，消去未知数Z，然后把所得到的方程与方程组合二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组可求 到x，y的值，进而求到原方程组的解解：得x-2y= -8，x y1由，组成方程组得I ；x 2y8x 10解这个方程组，得y 9把x=10，y=9代代入，得z=7.X 10,所以方程组的解为y 9,z 7.评注：解三元一次方程组的基本思想是消元，在解题过程

5、中，应根据方程组中方程的 特点确定消元的方法本题也可以采用消去未知数y的方法得到矢于x、z的方程组求解xyzo,例2解方程组x 2y z 3,2x 3y 2z 5.分析：观察方程组的特点，方程，中 x，z的系数相等，若用可以直接求到y 的值，把所得的y的值代入，并组成方程组，可得到矢于x、z的二元一次方程组，解此方程组可得到x、z的值.解：，得y=3，x z 3,把y=3代入，得2x2z14解这个方程组，得x2,所以原方程组的解为y 3,评注：解三元一次方程组，应注意观察其特点，根据特点灵活选择消元方法本题也可以直接把代入进行消元，得到 y的值.x1,例3解方程组y6,3分析：方程组的各个方程

6、中所含未知数个数相等，且未知数的系数都是1，如果将三个方程相加，则可得 x+y+z=5，用x+y+z=5减去每个方程，可以得到方程组的解解： + +，得 2(x+y+z)=10,即 x+y+z=5 由，得z=4,，得Xh1,:，得y=2.x 1,所以方程组的解为 y 2,z 4.评注:本题采用整体代入消元的方法得到方程组的解，这是一种比较简单的求解方法实际上，本题也可以先用方程，消去y,把所得到的方程和组成二元一次方程组求解消元是解三元一次方程组的尖键，若能根据各未知数系数的特点，灵活地进行 消元，则可以提高解题速度。下面介绍几种消元方法。一、先消系数最简单的未知数r3x y 2z 3，例1解

7、方程组V 2xy3z11，xy z 12 o 分析 三个方程中，y的系数的绝对值都是1，所以先消去y比较简单。解+，得5xz14o，得x 4z 1。 5，得 19z 19，二 z 1。把Z 1代入，得x 3。把x3，z 1代入，得y8。r4x9z 17,、先消某个方程中缺少的未知数例2解方程组丿3xy 15Z18 ,x 2y 3z 2。(3)分析因为方程中缺少y,所以由先消去y比较简单解2得5x 27z 34。再解由、组成的方程组，得x 5，z丨。31把x 5，z代入，解得y 2。3三、先消去系数的绝对值相等(或成倍数尖系)的未知数勺X4y3z9、例3解方程组f 3x2y5z11，V5x6y7

8、z13。、两个方程中X的系数成倍数尖系，易消去X，由2z 3。把z 3代入，得x 1。把x 1z3代入，得1四整体代入消元厂26、 xyZ例4解方程组vxy1, A2x zy 18，分析将方程左边变形为含有方程、左边代数式的形式消元求解。解方程变形为：x y zx y y 18。把、代入，得26 1 y18。二 y 9把y9代入，得X9 1。/x 100，得 3z 9，作整体代入便可分析三个方程中y的系数成倍数尖系，因此先消去y比较简单。解+2，得8x13z31 o(2)3(3)、得 4x 8z 20。把x10，y9代入，得zr4x 9z 17,五、整体加减消元例5解方程组彳xy2z7,(2x

9、 3y z 12 o分析 观察三个方程中未知数X、Z的系数特点，可用整体加减消元法来解。解，得2y 6，- y 3。并化简，得xy5o把y3代入，得x2。把代入，得5 2z 7。二z 1。六、设比值参数消元x ： y =3 ： 2，例6解方程组 y ： z=5 ： 4，x y z 66 o(3)分析 方程组中前两个方程是比例式，可用设比值参数法消元求解。解设每一份为k，则x 3k y 2k z 16k。把代入得3k2k1 6k 66 k 10。则 x3 1030 y210 20，z 1.6 10 16。七、轮换相加法广xyz 11，例7解方程组Vyzx 5、IzXy1 分析观察发现每两个方程都有两对互为相反数，故两两相加均可同时消去两个元。解将三个方程两两相加再除以2即得x 6，y 8，z3 八、巧选主元法:y z 0，例8解方程组丫 xy3z4，Ax 2y z 13 , A2x 3y 5z 14 o分析选x、为主兀，由、能迅速解岀X、y,从而可使问题获得巧解。解 选X y为主兀，联立、，解得x 2z 2 y z 2 将它们代入解得z 2 进而得X 6，y 4。