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1、精品资源弦长公式的应用若直线l与圆锥曲线相交于点A(x1, y1), B(x2, y2)时,则弦 AB 的长:| AB | =、.1 - k 2 ab |x2 x 11=J + -r4 I y 2 - y 11 k AB由 |AB| =、.(x2 -xi)2 (y2 -yi)2禾口 k AB =即可出隹 Za 式x2 - xi本文说明它的应用。1 .弦长问题例1.已知点A(-J3, 0)和B (J3, 0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段 DE的长。解：设点C (x, y)，则c的轨迹是双曲线|CA|-|CB|=2 ,根据双曲线的定义
2、，可知点2 y b2由2a =2, 2c =|AB| = 2 3得22a =1, b =2故点c的轨迹方程是二12v2 _匕由专 2 得x +4x-6=0y 二x -2因为0,所以直线与双曲线有两个交点。设 D(x1 , y1), E(x2, y2)，则x1 + x2 = -4 , x1 x2 = -6,故 |DE |= J112 |x1 - x21二.2 1(x1 x2 )2 - 4 x1 x2 1 = 4 52 .求曲线的方程例2.已知点A(-1, -4),抛物线C的顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上，直线l: y=2x2与抛物线C交于M1、M2两点，若|AM1|、1MlM2|、|AM2|成
3、等比数歹U,求抛物线C的方程。2解：设抛物线 C: y =2px(p0), Mi(Xi, y1)，M2(X2, y2),显然点A在直线l上，22八由!y =2 px，得y = 2x - 2y2 px2P = 0,所以 yi + y2 = p,yiy2 = -2 p由图 i,知 y a 4, y2 A 4 ,图i又 1MlM2r =|AM111AM2|,即2 2 2J1 十；yi - y210),点M在直线l上t 一 , t“ |FN| 1, 、土滑动，动点N在MF延长线上，且满足JINl,求动点N的轨迹方程。|MN| |MF|解：如图2所示，以点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标
4、系。欢迎下载图2设 N(x, y)(x 0),则 kFN =1. x由于 |MN|=|MF|，NF|,根据公式，得卡+在+可=；1+,化简，得 pt x2 +y2 =x + p(x0),平方整理，得点N的轨迹方程为(p2 -1)x2p2y2 -2px - p2 =0(x 0).3.范围问题2、= 1(2 Em 5)的左焦点F且倾斜角为45。的直线l与椭圆及x y -例4.过椭圆+m m -1其准线的交点从左至右依次为A、B、C、D,记 f (m) =|AB|CD|,求 f(m)的取值范围。解：由条件，知直线A(-m,图3l: y=x+1,椭圆准线：x = m,一 m + 1), D (m, m + 1).设 B(x1，必)，C(x2, y?),其中一m x1 x2 0, b a 0)的右顶点为A, P是双曲线上的一个动点(异于 a b顶点)。从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点。(1)证明无论P点在什么位置，总有|OP|2=|OQ|OR| (O 为坐标原点)；2(2)求T =AP一的取值范围。|AQ|AR|b2 口(答案：T r且T#1)a2 b2
