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1、2022年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法自我小测新人教A版选修1设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于()A BC D2在用数学归纳法证明n边形内角和为(n2)180时，第一步应验证()An1成立 Bn2成立Cn3成立 Dn4成立3在数列an中，a11，前n项和Sn1，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()Aan1 Bann1Can Dan4用数学归纳法证明：1aa2an1(a1)，在验证n1时，左边计算所得的项为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a35已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3
2、,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_6如图，第n个图形是由正(n2)边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第(n2)个图形中共有_个顶点7设an1(nN)，是否存在关于n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)，对大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论8已知数列，计算数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明参考答案1解析：因为f(n)1，所以f(n1)1.所以f(n1)f(n).答案：D2C3解析：由题意，可知S2a1a21，a211；S3a1a2a31，a3S3S2
3、，同理，可得a4S4S3，故可猜想an.答案：D4解析：令n1，则等式左边1aa2.答案：C5解析：设每个数对内的两数之和为k，则组成数对的个数为akk1，k2,3，则由不等式Sk60，得k(k1)120，则k的最大值为11，且S1155，则第56个数对之和为12，即(1,11)，后面的依次为(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对为(5,7)答案：(5,7)6解析：设an为第n个图形的顶点数，则由题图可知：第1个图形有6个顶点，a16；第2个图形有12个顶点，a212；第3个图形有20个顶点，a320；第4个图形有30个顶点，a430；第5个图形有42个顶点，a54
4、2；则an(n1)(n2)，an2(n1)nn2n.答案：n2n7答案：解：假设g(n)存在，那么，当n2时，a1g(2)(a21)，即1g(2)(11)，g(2)2.当n3时，a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3.当n4时，a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4.由此猜想g(n)n(n2，nN)下面用数学归纳法证明当n2，nN时，等式a1a2an1n(an1)成立(1)当n2时，a11，g(2)(a21)2(11)1，结论成立(2)假设当nk(kN，k2)时结论成立，即a1a2ak1k(ak1)成立那么当nk1时，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，说明当nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对一切大于1的自然数n，存在g(n)n，使等式a1a2an1g(n)(an1)成立8答案：解：S1，S2，S3，S4.上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1，于是可以猜想Sn.证明：(1)当n1时，左边S1，右边，猜想成立(2)假设当nk(kN)时猜想成立，即成立，则当nk1时，所以当nk1时，猜想成立，根据(1)(2)知猜想对任意nN，Sn都成立
