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1、附件十 高等数学20022005学年历年期末考试题2002级高等数学（I）期末考试试卷(A)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.1.21.题号一二三四五六七总 分123456得分说明：1. 本试卷共6页；2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1 .2. .3. .4. 曲线在处的切线斜率为 .5. .6. 已知向量，则 , . 7. 要使函数在处连续，则 .8. 设，则 .9. 设在上连续，且，则 .10. 由曲线和直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体体积的定积分表达式是 .二、求
2、解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 设，求2. 求.3. 计算.4. 求.5设在处可导，求.6设，求.三、（本题满分7分） 过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.四、（本题满分7分） 求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.五、（本题满分8分） 一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.六、（本题满分6分） 已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.七、（本题满分6分） 证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.2002级高等数
3、学（I）期末考试试卷(B)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2003.1.21.题号一二三四五六七总 分123456得分说明：1. 本试卷共6页；2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1. .2. .3. .4. 曲线在处的切线斜率为 .5. .6. 已知向量，则 , . 7. 要使函数在处连续，则 8. 设，则 .9. 设在上连续，且，则 .10. 由曲线和直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体体积的定积分表达式是 .二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 设，求2
4、. 求.3. 计算.4. 求.5设在处可导，求.6设，求.三、（本题满分7分） 求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.四、（本题满分8分） 一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.五、（本题满分7分） 过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.六、（本题满分6分） 证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.七、（本题满分6分） 已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.2002级高等数学（I）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共10小题
5、，每小题3分，满分30分）：10； 2. ； 3. ； 4. 3； 5. ；6. 2，（10，7，1）； 7. ；8. 6！； 9. 1； 10. .二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 设，求， （5分，前两项每项2分，后一项1分）. （6分）2 （2分） （4分）. （6分）3 （2分） （4分）. （6分）4. （1分） （3分） （4分） （6分）5 （3分） （4分） . （6分）6 （2分） （4分） （5分） （6分）三、（本题满分7分） 过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.解 设切点为，切线方程为：， （2分）因为过点，得 （4分） （
6、6分） （7分）四、（本题满分7分） 求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.解 ，得， （2分）， （4分）为极小值， （5分）又曲线在内无拐点. （7分）五、（本题满分8分） 一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.解 建立坐标系为：取三角形的顶为坐标原点，铅直向下为x轴，水平向右为y轴.直线方程为 ， （2分） （4分） （6分） （8分）六、（本题满分6分） 已知函数在区间内具有二阶导数，且，试证在区间内至少存在一点，使得.证 ， （1分）由条件具有二阶导数，且， 则在上连续，在内可导，且
7、，由Rolle定理 使， （3分）又， （5分）则，对在上应用Rolle定理，有，使. （6分）七、（本题满分6分） 证明方程的正整数）在区间内必有唯一根，并求数列的极限.证 设，则在上连续，又，由零点定理，至少存在一点，使， （2分）又在上单调增加，故至多存在一点，使，综上所述，存在唯一一点，使，即方程在区间内必有唯一根. （3分）,即 数列单调有界，故必有极限，设. （5分）而 ，取极限，得 ，即 . （6分）2002级高等数学（I）期末考试试卷(B)答案及评分标准一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1. ； 2. 0； 3. ； 4. 6； 5. ；6. 4；（5，6，
8、8）； 7. ； 8. 7！；9. ； 10. .二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 设，求， （5分，前两项每项2分，后一项1分）. （6分）2 （2分） （4分）. （6分）3 （2分） （4分）. （6分）4. （1分） （3分） （4分） （6分）5 （3分） （4分） . （6分）6 （2分） （4分） （5分） （6分）三、（本题满分7分） 求函数在区间内的极值，并判断曲线在区间内是否有拐点.解 ，得， （2分）， （4分）为极小值， （5分）又曲线在内无拐点. （7分）四、（本题满分8分） 一底为8 m、高为6 m的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3 m，试求它每面所受的压力.解 建立坐标系为：取三角形的顶为坐标原点，铅直向下为x轴，水平向右为y轴.直线方程为 ， （2分） （4分） （6分） （8分）五、（本题满分7分） 过点作曲线的切线，求此切线与曲线轴所围成图形的面积.解 设切点为，切线方程为：， （2分）因为过点，得 （4分）
