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1、第五讲 三者辨证关系(您二、函数与方程(一)、理论提示1. 函数与方程的思想方法是高中数学思想方法的主线，函数思想是指在解 决某些问题时，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象出变量间的函数系，再利用函数的有关性质，使问题得以解决。2. 程思想是指将研究的变量设为未知数，根据题意布列方程，通过对方程 的研究，使问题得以解决。方程与函数是两个不同的概念，但它们有着密切 的联系。对于同一个问题，可以用不同的观点去分析，从而引出不同的方法。3. 下列三个关系对于处理函数、方程、不等式有关问题至关重要：a、方程 f=g(x)的解是两函数y = f (x)和y=g(x)图象交点的横坐标；b、不等式f (x
2、) ( (b c 且 a + b + c=0，抛物线 y = ax 2+2 bx + c 被 x 轴 截得的弦长为1，求证:由V1V23疗.讲解：如果能够建立l = f(a,b,c )的表示式，那么问题归结于 求函数1的值域.:ab c，且 a + b + c=0,a0,c0,从而方程ax 2 +2 bx + c=0必有两 个不同的实根 xx2，则 1 2 =(XX2)2=(X+x2)2 4 x x =(4b2/a2) (4c/a)=4 (b2/a2) (c/a) =4 (a + c)2/a2) (c/a)=4(c/a) + (1/ 2) 2 + 3.这说明1 2是(c/a)的二次函数，由ab
3、c以及a + b + c=0可得一2(c/a)(1/2).由二次函数的单调性可知， 当(c/a)(1/2 )时，1 2是单调递减的，于是4 (1/2) + (1/2) 2+31 24 (2+(1 /2) 2+3，即 3120，故七疗12七疗.例2 .已知函数f (x) = log3 mX2 ；* 的定义域为R，值域为0，2，求实数m、n.。解：设 t =-,则。1 t 0即 12 一 (m + n)t + mn 16 0, v 1 t 2，从而判定x0e(2，3)，故本题应选C.评述本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间.数形结合，要在结合方面下功夫.不仅要通过图象直观
4、估计，而且还要计 算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断.例4 .已知过点A (0，1)，B (4, 1)且与x轴相切的圆只有一个，求。，的 值及其所对应的圆方程.解：设所求的圆的方程为(x x)2+ (y *)2 =咋.A、B均在圆上，将A、B的 坐标代入消去y0得(1 - a)X2 - 8x + a2 - a + 16 = 0 6分，要使只有一个圆，关 于X0的方程只有一解，当a=1时，得x0=2，y = 5；当a A 1时令A = 0得a = 0,则x = 4,y = 17故适合题意的a值为 妇 02002或a=0.相应的圆方程分别是(x - 2)2 + (y - 5)2 = 2
5、5和(X - 4)2 + (y -业)2 = 289 2424例5 .若关于x的方程lg 3+20X)-lg (8x-6a-3) =0有惟一的实根， 求实数a的取值范围.讲解：原方程等价于xz+20x0，X2+20x=8x-6a-3,xV-20 或 x0,X2 + 12x+6a+3=0.令 f (x) =X2+12x+6a+3.(1)若抛物线y=f (x)与x轴相切，有A = 144-4 (6a+3) =0,即 a= (11/2).将a= (11/2 )代入，得x=-6，不满足.a尹(11/2).(2)若抛物线y=f (x)与x轴相交(如图2-12)，注意到其对称轴为 x=-6，故交点的横坐标
6、有且仅有一个满足的充要条件为图 2-12f (-20) 0，f (0)V0，解得-(163/6)a-(1/2).当-(163/6)Wa0， f (0)0.(ii)本题的另一种思路是利用数形结合的思想.原方程等价于x2 + 20x=8x-6a-3 (x0).问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x-6a-3与抛物线y=x2 +20x (x0)有且仅有一个公共点.虽然这两个函数的图象都很明确，但在什么情况下它们有且仅有一个公共 点，却并不明显.如果把方程稍作变形，如x2 + 12x+3=-6a (x0).再在同一直角坐标系中分别作出抛物线y=x2 + 12x+3 (x0)和 直线y=-6a，
7、如图2-13所示.当且仅当3V-6aW163,即-(163/6)WaV- (1/2)时，直线与抛物线仅 有一个公共点.图 2-13当-(163/6)WaV- (1/2)时，原方程有惟一的实根.三、反馈练习，集合1 .函数川)=敬心，心)，集合H = gx)r)月=寸川)=x且a=b尹。，求&的取值范围.解：由A尹。，得，A=B等价于曲线卜*一1与y=x的交点就是曲线 ，=敬-1与工=-1的交点，又等价于曲线厂敬1上不存在两个不同 点关于直线y=x对称.假设曲线疽皿 T上存在两个不同点P、Q关于直线 y=x对称，则PQ直线方程可设为顼一8与方程联立，消八 整理得伽H-1 = 0.此方程应有两个不
8、等实根死心，即为P、Q的横坐标 设PQ中点为M. =】一顿一 &T) ,即4曲+4】+ 1口.P、Q关于直线F = x对称，.M点在尸了上，.，即，代入，得E,.曲线尹f / T上不存在两个不同点关于直线 V 对称时， 2 .如果关于二的方程投+伽T）妒- 2 = 0有一个根小于一1 ,另一个根大 于1,求实数用的取值范围.解方程投+伽一1）妒一2=。的实根即是函数y/W = ?+-l）x + -2的图象与应轴交点的/横坐标.-如图1-2,原方程有一个根小于一1 ,另一个根大于1的充要条件是函数y=f（x）的图象与工轴有两个交 |勺十一 点分别在区间（一8，1）及（1，+8）上.口 I 由于y=f（x）的图象是开口向上的抛物线，因此以上条件等价于/（-I）0,（刑-1） +妒-0,U（l）。即1 + （幽-1） + 诚-22内上述方程仅有一解， =0 不合，/() 。即 a2- a- 0,:. - y/2 a - + 412422(或化为 14 +(10-4。)启 + 4。2 -4。-7 = 0,对X2有一正根一负根)
