《直线与双曲线位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与双曲线位置关系（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=k*+b，双曲线1 (a0，b0)联立消去y得A*2+B*+C=0a0，=B24AC。假设A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设0,直线与双曲线相交，有两个交点；假设=0，直线与双曲线相切，有一个交点；假设0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=k*+n，圆锥曲线：F(*,y)=0，它们的交点为P1 (*1,y1)，P2 (*2,y2)，且由，消去ya*2+b*+c=0a0，=b
2、24ac。弦长公式：k为直线斜率例题选讲：例1：直线l：yk*1与双曲线C：2*2y21的右支交于不同的两点A、B*数k的取值*围；解(1)将直线l的方程y=k*+1代入双曲线C的方程2*2-y2=1后，整理得(k2-2)*2+2k*+2=0.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值*围是2k2 (其中O为原点)，求k的取值*围解(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21.(2)将yk*代入y21，得(13k2)*26k*90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k22，得*1*2y1y22，2，即0，解得k23
3、，由得k20，b0)的离心率为2.假设抛物线C2：*22py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A*2yB*2yC*28y D*216y(2)(2012*高考)抛物线关于*轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)假设点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2自主解答(1)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为*y0，抛物线C2：*22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为*216y.(2)依题意，设抛物线方程是y22p*(p0)，则有23，得p2，故抛物线方
4、程是y24*，点M的坐标是(2，2)，|OM|2.答案(1)D(2)B练习2：假设抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或题型3：直线与抛物线的位置关系1设抛物线方程为y22p*(p0)，直线A*ByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去*得到关于y的方程my2nyq0.(1)假设m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)假设m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物
5、线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，*1*2.(2)|AB|*1*2p(为AB的倾斜角)(3)SAOB(为AB的倾斜角)(4)为定值.(5)以AB为直径的圆与准线相切(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(7)CFD90.例3：(2012*高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：*22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上*定点自主解答(1)依题意，|OB|8，BOy30.设B(*，y)，则*|OB|sin 304，y|OB|cos 3012
6、.因为点B(4，12)在*22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为*24y.(2)证明：由(1)知y*2，y*.设P(*0，y0)，则*00，y0*，且l的方程为yy0*0(*0)，即y*0*.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y0*(*00)的*0，y0恒成立由于(*0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0*(*00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)练习3：(2012*模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24*的焦点F.(1)假设点O到直线
7、l的距离为，求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与*轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即*1不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(*1)，即k*yk0.所以，解得k.故直线l的方程为：y(*1)，即*y10.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：设A(*0，y0)，则y4*0.因为|BF|AF|*01，所以B(*0,0)所以直线AB的方程为：y(*0)，整理得：*0把方程代入y24*得：y0y28*0y4*0y00，64*16*0y64
8、*64*0，所以直线AB与抛物线相切根底练习：1(2012*模拟)抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A*24yBy24*C*24y Dy24*解析：选A由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中c.抛物线焦点坐标为(0，)，抛物线方程为*24y.2(2012东北三校联考)假设抛物线y22p*(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A2 B18C2或18 D4或16解析：选C设P(*0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.3(2013*模拟)抛物线y22p*(p0)的准线与曲线*2y
9、26*70相切，则p的值为()A2 B1C. D.解析：选A注意到抛物线y22p*的准线方程是*，曲线*2y26*70，即(*3)2y216是圆心为(3,0)，半径为4的圆于是依题意有4.又p0，因此有34，解得p2.4(2012*模拟)过抛物线y26*焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或 C.或 D.解析：选B由焦点弦长公式|AB|得12，所以sin ，所以或.5(2012*模拟)抛物线y22p*的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)假设点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为()A*y0 B*y0C2*y10 D2*y10解析：选C点A在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24*，焦点F(1,0)设点B(*1，y1)，点C(*2，y2)，则有y4*1，y4*2，由得(y1y2)(y1y2)4(*1*2)得kBC.又0，y1y22，kBC2.又1，*1*22，BC中点为(1，1)，则BC所在直线方程为y12(*1)，即2*y10.6(2013
