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1、小升初数学衔接班第3 讲一元一次方程的解法一、学习目标1、 了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，掌握等式的基本性质；2、会解一元一次方程，了解一元一次方程解法的一般步骤，并经历和体会解方程时运用的“转化”的过程和思想。二、学习重点掌握去分母、去括号、合并、系数化为1 的方法的使用及其依据。三、课程精讲1、引入古代诗歌曰： “我问开店李三公，多少客人在店中一房七客多七客，一房九客一房空。请你仔细算一算，多少房间多少客。”2、知识回顾（1）什么是方程我们在小学就学习过方程，所谓方程，就是含有未知数的等式。（2）去括号法则在本讲中，我们要用到上一讲学习过的去括号法则，请同学们提前复习一下。
2、例 1、化简下列式子(1) (%-如(2) 3(2/+丁)-2(汗+”)”思路导航：一回忆去括号法则，并严格遵循这一法则。丁*：(1)原式=2a-%-以+48=2a - a+4力一比。=a + 匕 a(2)原式=6-+3-2芯-8y一=6 五一 21一 8y + 3了 =4左一5九点津：一去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方，语同学 们在做题过程卬引起重视，多检查。一3、新知探秘”知识点一 9的解与解方程，使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.“例如，当时，在方程及+ 2 = 4-1中“左边=3x3+2=右边.4x3-1= 119所以，左边右边，故工二3是方程3x+2 =
3、4x-l的解.3例2、检险下列括号里的数是不是它前面方程的解。(1) 3伊-1 = 2+1(=4/=2)-(2) (2-x)(3-x) = 0( x= 0,x= 2)p思路导航：回忆方程的解的定义，并运用它解题.U(1)当二4时，左边=3乂4一1 = 11,右边=2x4+l=9y所以，左边。右边， =4不是方程的解1s 一当y=2时，左边= 3x2-l=5,右边=2x2+1=5*j所以，左边=右边，丁 = 2是方程的解。.(2)当 x=o时，左边=(2-0)(3-0) = 6,右边=0所以，左边三右边，犬=0不是方程的解./当 一二2时,左边二(2 - 2)0- 2) = 0,右边T.所以,左
4、边边,x= 2是方程的解。点混u求方程的解的过程，叫做解方程。,我们在小学已经学习过海易方程，比如，3x-4 = 9,1 + 5 = 3(以+1) 32等，像这样只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程.，知识点二 等式的性质”既然方程是一种特殊的等式，那么在解方程之前，我们先来研究 等式的性质.U如上图，从左到右，我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的 重量，天平仍保持平衡；从右至I左，我们在保持平衡状态的天平两边 减去相同的重量，天平仍保持平衡。等式与天平的平衡类似，于是有;3等式的性质1等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)， 结果仍相等.，类似的，在上图中，观察
5、从左到右和炕右到左天平而边的变化， 可以类此得到等式的又一性质；，等式的性质2等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的 数，结果仍相等.d例3、埴空。(1)若3二 2十彳，么 了 ?(2)若才一)=6,那么彳=6+； /3 个-X4-V = 2仁(3)若 4，那么 = 2-.(4)若 3x=24,那么 x=。-思路导航；利用等式的性疑达到使等式变形的目的，/ 啥：,(1) 1；,(2) y；/3-x(3) 4 点津，养成言之有据的习惯，即培养自己的理性思维。，例4、判断U(1)若“元=货，则万=;一(2)若n二，则x_5=5_y：,bJj*若二十&=ogwo),则一乙，(4)若5X一2 =
6、63,那么x = l.思路导航：为题目中给定的变形式找依据。“解答：。(1)错，若4 = 0,则不能用等式的性质2； (2)错，利用等式的性质1,可得才-5 = -5,而并非题目所 给结果；一(3)借，利用等式的性质1,得“二一3再利用等式的性质2,b x= 得 a ； “(4)对，利用等式的性质1,得32 = 6兀一5N，即五二1.8点津:此题与上题在逻辑上正好相反，上题是按依据来变形，此 题是为变形找依据，带有逆向思维的成分，属于更高层次的要求.一43知识点三 解一元Tfc锵 (-)系数化为ME其卬，题为常数，加?0是比较简单的一元一次方程.第这类方程时，可以利用等式的性质a,将未知数的系
7、数优为1 即可。例5、解F列方程J(1) 15 了 = 60u3.m = 2(2) 2(3) 2;p = 1.5.(4) 3.1x= 0思路导航：将系数化为I其实是利用等式的性质2.，15x_ 60(1)方程两边同时除以15,得五即 M = 4 /333 、3(2)方程两边同时除以2 ,得222u4 m = “3-(3) 2.5= 1.5”2.5r_ 1.5方程两边同时除以2.5,得二元3p = 即3.1j_ 0(4)方程两边同时除以3，得丁丁一五即尢=0 点津：将系数化为1实际上是将此类方程化为形如升=以的最简 单的方程。，口知识点四 解一元一防程(-)移项我们来研究方程5x-2 = 3x+
8、4(i) “的解法。如臬我们能把这个方程变形为上述商单方程就能很容易求出解. 上述简单方程的一边只含有彳的项而没有常数项，而另一边只有常数 项而没有含x的项。”所以，根据等式的性质1，方程(1)两边同时加上2,即，(52) + 2=(3/+4) + 2于是，得到一个新的方程，51=3不十6(2) 丁这个方程与原方程的解是相同的，称其为原方程的同解方程.“再根据等式的性质L方程(2)两边同时激去3天，即一5x-3x = (3x + 6)- 3x v于是，得到与原方程同解的方程2x = 6(3)将这个方程中未知数的系数化为1,得万=3。,将方程(1)与方程(2)作比较/这个变形可以看作是把方程左边
9、的常数项-2改变符号后，移到 方程的右边。一同样,格方程与方程作比较“5r = |3rl+6 51日=6 4这个变形又可以看作是把方程右边的含I的项以改变符号后， 移到方程的左边.，这种变形叫做移项。移项法则，把方程一边的项改变符与后移到方程的另一边，方程 的解不变。，求方程（1）的解的过程可以写为。解；移项，得国-分=4+2-合并，得2 6方程两边同除以2,把x的系数化为1,得x=3。/例6、解下列方程一(1)(2)-+7=5+x2/c 3“56y- 1 = 4+:44 q- = 3x-l(3) 2，(4) 4h1 = 4- 3x思路导航：在计算的过程中，一定要依据移项的法则求解。T 解答，
10、(1)移项，得7-5= x-X 22 = -A A= 2合并，得 2 ,即2“系数化为1,得=4一u .5 3by-4y = d-一(2)移项，得4 4 /合并，得2y = 2“系数化为1,得丁 =1l=3i-k(3)移项，得 2 /1 = x x=1 合并，得 2 ,即2 u2x =系数化为1,得5“(4)移项,得4x+3”4+1,点津，。移项的本质是利用了等式的性质1。-通过移项和合并，我们把较复杂的一元一次方程变形为形如 F=次加本的简单方程.这种将复杂问题转化为询单问题的数学 思想值得我们加以总结.不知识点五 解一元一防程(三)去括号和去分母u如果一元一次方程中含有括号，我们需要利用上
11、一掰学习的去括 号法则，将括号去掉，再将其转化为莪茴单的形式，利用移项和合并, 最终化为最简单的方程，从而求出方程的解.一例7、解下列一元一次方程V Ax-2 = 2(x + 4)y(2) 3。一7) 29 4(2+#=22/思路导航：当方程中含有括号时，将括号去掉，转化为较为简单 的方程。“解羯口(1)去括号，得4克-2= 2六十院移项，得4大-2左=8十2d合并，得2x=10.系数化为1,得“5.(2)去括号，得为-21-29-8-4川=22再去括号，37-21-18+16+8y=22移项，得3y十町二22+21 + 18-16“合并，得1 = 4545 y = 系数化为1,得 11 一
12、点津，。此例题比上一例题更为复杂且是通过去括号可以将其转化为类 似上一例题卬较为简单的形式，这也是利用了转化的方武.V另外，在对形如一4乐-3)的式子进行去括号时，其实还是一个 运用分配律的过程u有的方程未知数的系数是分数，而整数的运算比分数的运算简 单、不容易出错.因此，我们自然会想，有没有什么办法可以将分数 化为整数？，这个办法就是利用等式的性质2,在方程的左右两边同时乘以所 有分母的公分母.川x-2 1 1 2-x + _ = I _我们以方程436为例.y这里有三个分母，其最小公倍数为12,在这个方程的左右两边 同时乘以12,得u(尸十；)xl2 = (l)xl2, 利用乘法分配律，得
13、“xl2+lx12 = lx12-X12436 a即 3(”2)+4=12-2(2-.得到的这个方程就是上述我们能够解的简单方程了：解答过程如 下去括号，得方-6十4=12-4十2。移项，得3工一2彳二124十6-4口合并，得m。/例8、解下列一元一次方程#3-4 _ 52- T /1-2 4-3x(2)46思路导航:要清楚去分母的依据和步骤。a(1)方程两边同时乘以4,得2C - 4力=5工/去括号，得8-队二5工口移项，得6 = 5X+8丁口合并，得6三13元，即13i=6/6X =系数化为1,得13 一 方程两浏司时乘以12,得3a-2)-2(4-31) = 12和去括号,簿方-6-8+
14、6方= 12 -移项.得京+6才=12 + 6+8中合并,得9大=26#_ 26系数化为1,得 =点潮裂点津：去分母的过程，实际上就是将带分数的方程化为上述整数系数方程的过程。大家一定要总结其中的“转化”思想。大家熟悉去分母的过程后就不必这样详细书写，只需写“去分母，得”即可。知识点六 解一元的T3 1一2为更全面地讨论问题，我们以 三一= 4_10-4j + 2-10为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤。”这个方程各分母的最小公倍数为1。，方程两边同时乘以15于 是方程变形为y3乂10 2（5 2券）=4乂10（104尸）+5（2尸）口需要注意的是，方程左右两边的每一项都要乘以10,谭防漏乘;分数线本身具有括号的作用，所以去分母后先把括号添上.一我们用下列流程图表示具体解答过程：小这个流程图显示了解一兀一次方程的一般步骤0一解方程就是要求出具卬的未知数（比如X）,通过去分母、去括 号、移项、合并、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向 着方=熄的简单形式转化，这个过程主要依据了等式的性质和运算律 等方法。”1-2
