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1、高考热点复习之立体几何200506021、在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2a，AC=a，AB=a，点P到平面ABC的距离为a。（1） 求二面角P-AC-B的大小 （2）求点B到平面PAC的距离;【解】：(1)由条件知ABC为直角三角形，BAC=90PACB PA=PB=PC 点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜边BC的中点O，取AC中点D，连PD，PO，PO平面ABC OAC（POAB） ACPD, PDO为二面角P-AC-B的平面角tanPDO=PDO=60,故二面角P-AC-B的大小为60。（2）PD=a SABC=ACPD= a2 设点B到平面PAC的距离为h则由
2、VP-ABC=VB-APC得SABCPO=SAPCh h=a 故点B到平面PAC的距离为a2、在三棱柱ABC-A1B1B1中。底面ABC为正三角形 (I)求证： (II)把四棱锥绕直线BC旋转到合。试求旋转过的角的余弦值解：（） 过A1作A1H底面ABC，H为垂足，连接CH、BH、AHA1BAC,A1CAB 由三垂线定理的逆定理 BHAC，CHAB2分H为ABC的垂心 AHBC由三垂线定理 AA1BC 6分() AA1BB1，由（）知B B1BC，从而BBBCB1BB为二面角B1BCB的平面角 9分且有BBAH（在底面内AH、BB同垂直于BC）B1BB=A1AH（B1BB与A1AH的两边分别平
3、行，且方向相同）ABC为正三角形 H为ABC的中心 在RtA1AH中，cosA1AH= cosB1BB=即所求二面角B1BCB的余弦值为 12分3、正四面体A-BCD的棱长为1，（）如图(1)M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图(2)，求二面角M-AB-E的大小；（）若将图(1)与图(2)面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积。 19【解】（）取BD的中点，连结AN、MN，MN|ABAMN就是异面直线AM与BC所成的角， 在AMN中，AM=AN=，MN=，AMN=arccos.（）取BE中点P
4、，连结AP、PM，作MQAP于Q，过Q作QHAB于H，连MH； EBAP，EBPM，EB面APM，即EBMQ，MQ面AEBHQ为MH在面AEB上的射影，即MHAB MHQ就是M-AB-E的平面角， 在AMP中，AM=AP=，PM=1，MQ=，PQ=；在ABP中，AHQ=300，AQ=AP-PQ=-，AQ=，HQ=；MHQ=arctan4， （）若将图(1)与图(2)面ACD重合，该几何体是5面体这斜三棱柱的体积=3VA-BCD=3=4、 已知在四边形ABCD中，AD/BC，AD=AB=1，将ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置，使平面。 （I）求证：；（II）求二面角的大小（用反三角函
5、数表示）； （III）求点D到平面PBC的距离。解法一：（I） （II）过P作 9分 （III）设D到平面PBC的距离为h，由可求出，BC=2，。 解法二： 如图所示建立空间直角坐标系 则3分 （I） （II）取平面BDC的法向量 设平面PBC的法向量为 （III）过D做 14分补充4已知边长为4的正六边形ABCDEF，将ABF沿BF折起，使之与平面BCDEF成60的二面角，点A到了A1，如图所示. （1）求点A1到平面BCDEF的距离. （2）求异面直线DE与A1F所成的角. （3）如再将CDE沿CE折起（与折起的BA1F同在面BCDF同侧），点D到了D1且使平面CD1E/平面BA1F，连结A1D1，求所构成的五面体BA1FCD1E的体积.17解：（1）设正六边形的中心为O，取BF的中点为M，故即即为二面角的平面角为60，且平面A1MO，过A1作平面BCDEF，所以A1H即为所求距离，在中，可得6分（2） OF/DE，所以异面直线DE与A1F所成的角即为A1FO，A1F=FO=4，A1O=2，由余弦定理可得，10分（3）显然所构成的五面体BA1FCD1E为斜三棱柱，取CE的中点为N，过N作NKA1M于K，又NKBF，所以NK平面A1BF，由，可得14分
