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1、思想三 数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效数形结合的重点是研究“以形助数”，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想数形结合思想通
2、过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合以数辅形(形题数解)借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数
3、形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应（2）双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错（3）简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常
4、有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或
5、面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用5数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解
6、；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证【热点分类突破】类型一利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1. 【广西柳州市2017届高三10月模拟】设定义域为的函数若关于的方程有7个不同的实数解，则（ ）A6B4或6C6或2D2分析：首先方程有7个不同的实数解，根据的解析式画出的图像，可得方程有两个不等实根，其中一根为4，另一根在从而可解决问题【答案】D点评：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域 (最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问
7、题，从而构建不等式求解.【规律总结】用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数利用数形结合求方程解（或函数的零点）应注意两点：（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解（2）正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻
8、意去数形结合【举一反三】【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】已知函数，用表示中最小值，设，则函数的零点个数为( )A1 B2 C. 3 D4【答案】C类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2. 【2017届四川宜宾市高三上学期期中】已知函数，关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】【解析】,在同一坐标系内作出函数与函数的图象，当直线与在处与左半部分相切旋转到与轴重合时符合题意，当时，所以时符合题意，所以实数的取值范围是.点评：本题考查导数的几何意义、函数与不等式，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数
9、研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.【规律总结】求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答利用数形结合解不等式应注意的问题：解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决【举一反三】【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】已知函数，其中
10、，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 (为自然对数的底数)【答案】【解析】设，由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，当时，当 时，g(x)0，当时，取最小值，当时，当时，直线恒过定点且斜率为，故且，解得.类型三利用数形结合思想求最值“形”可以使某些抽象问题具体化，而数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果例3【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，7】已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D.分析：首先由已知画出可行域，根据可行域可得的最大值，利用基本不等式即可解出【答案】B点评：线性规划的实质是把代数问题几何
11、化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【规律总结】在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义；要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；要正确确定参数的取值范围利用数形结合求最值的方法步骤：第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意
12、义；第二步：转化为几何问题把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如ykxb中表示直线的斜率，表示直线在轴上的截距；看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点和的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点（动点在一个区域内）的形式；或：看作是两点和间的距离或距离的平方；导数表示曲线在点处切线的斜率其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形第三步：解决几何问题；第四步：回归代数问题；第五步：回顾反思应用几何意义数形
13、结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：（1）比值可考虑直线的斜率；（2）二元一次式可考虑直线的截距；（3）根式分式可考虑点到直线的距离；（4）根式可考虑两点间的距离【举一反三】1对于每一个实数 ,取，三个值中最小的值，则的最大值为_【答案】3【解析】在同一坐标系中画出，三个函数的图象如下图所示，则实线为的图象，易知，的最大值为3类型四运用数形结合思想解决解析几何中的问题例4. 【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】在平面直角坐标系中，已知圆的半径为，且圆与圆：外切，切点为.（1）求及圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于点，点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存
14、在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围.试题分析：（1）切点在圆上，代入圆方程可得，由于两圆外切，所以在直线上，又圆的半径为，所以，解方程组可得圆心坐标，即得圆方程，注意根的取舍（2）实际为弦长问题，根据垂径定理列等量关系：设直线的方程为，则，再由，得或.（3）先确定坐标关系：设，由得，而点在圆上，所以，代入化简得，即点在圆上，而点又在圆上，所以两圆有交点，根据两圆位置关系得，解得实数的取值范围是.试题解析：（1）由在圆得，圆化为，圆心为，直线方程为，设，则，且，又，.圆的方程为. （2）因为直线，所以直线的斜率为，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，因为，而，所以，解得或.故直线的方程为
15、或. 点评：确定圆的方程方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值【规律总结】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化【举一反三】【河北唐山市2017届高三年级期末】已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴， 过点 的直线与线段交于点，与轴交于点，直线 与轴交于点，若，则 的离心率为 （ ）A
