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1、构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介 绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f (n +1)- f (n) =A (其中 A 为常数)形式，根据等差数列的定义知 f(n) 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出 f(n) 的通项公式，再根据f (n)与a，从而求出a的通项公式。nn3a 例1 在数列a 中，=卞，a , = =1 2n+1 a + 3n(n e N +)，求数列a 通项公式.解析：由 a3 a-1= a龟得，
2、a 1a =3a i-3a =0,两边同除以 n+1 a 十 3n+1 n n+1 nnan+ian 得,设b =才，则b i-b= 3，根据等差数列的定义知,n ann+1 n 3数列也是首相bi=2，公差d= 3的等差数列,根据等差数列的通项公式得叮2+ 3 5T)= ： n+ :数列通项公式为an=誌1评析：本例通过变形，将递推公式变形成为-an+11 -二A形式，应用等差数列的通项公式，先求出一的 aann通项公式，从而求出a的通项公式。n例2在数列a中，S是其前n项和，且SfO, ai=1, a=斜(n2)，求S与a1n 2 Sn-1解析:当n2时,a=S-S 代入a=予得,S-S廿
3、，变形整理得S-S 1=S S 1两边除以SS 1得，于-十=2,n n n-1n 2 Sn n-1 2 Sn n-1 n n-1n n-1 S Sn -1n -1n n -1 是首相为1，公差为2的等差数列Sn + = 1+2 (n-1) =2n-1, AS = (n2),n=1 也适合，.S= (n1)Sn 2 n -1n 2 n -1n当n2时，叮沪点嵩-盂=-H+3，=1不满足此式,1n = 1 a=n24n2-8n+3n 2评析：本例将所给条件变形成f (n + 1) - f (n) = A，先求出f (n)的通项公式，再求出原数列的通项公式,精心整理 条件变形是难点。 二、构造等比
4、数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f (n+1) =Af (n)(其中A为非零常数)形式，根据等比数列的定义知f (n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f (n)的通项公式，再根据 f(n) 与 a ，从而求出 a 的通项公式。nn例3在数列a中，ai=2, a=a /(n2)，求数列a 通项公式。n1n n-1n解析：Ta, a =a 2(n2) 0,两边同时取对数得，lga =2lga】in n-inn-ilg ann 一 1lg a=2,根据等比数列的定义知，数列lga是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通
5、项n公式得 lga =2n-ilg2=lg22”-1n数列通项公式为a = 2 2-1n评析：本例通过两边取对数，变形成log a二2log a I形式，构造等比数列hg a ，先求出log a的通项nn-1nn公式，从而求出a的通项公式。n例4在数列 a中，ai=1, a i=4a +3n+1,求数列 a 通项公式。解析：设a i+A (n+1) +B=4 (a+An+B), (A、B为待定系数)，展开得a i=4a +3An+3B-A，与已知比较系数得n+1nn+in3 A 二 3 A 二 13B - A 二 1 B 二仝3 a i+ (n+1) +訂4 (a+n+ 2 ),根据等比数列的
6、定义知，n+13n 3数列 a+n+学是首项为詩，公比为q=3的等比数列, Aa+n+訂亍X 3n-i33n 33数列通项公式为a=节X 3n-i-n-133评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例5在数列 a 中，ai=1，a * =4,求数列 a 通项公式。解析:Ta a=4n.aa =4n-1两式相除得务=4,+1 nn n-1an-1是首相分别为 a a ， a ， a 与 a ， a ， a135246又 a =1, a a =4n, a =41 +1 2 4罗n4n n2 a=n练习：1 已知数列匕满足ana2,公比都是4的等比数列,na _ an+1n +1 n，求an解：由条件
7、知n+1n+1，分别令n _ 1,2,3,(n -1)，代入上式得(n -1)个等式累乘之，即3n解：由条件知Jann=荷分别令n =1，2,3,（“ 一1）代入上式得（“ 一1）个等式累乘之即2又a =, a132数列 a 满足 al,=23n=1 a +1 （n2）,求数列a 的通项公式。2 n 1nn解：由 a = a+1 (n2)得 a 2二三(a2),而 a 2=1 2= 1,n 2 n1n2n11数列a 2是以1为公比，-1为首项的等比数列 n2 a 2= ( ) n1 a =2 ( ) n1n 2 n 23-数列a 中，a = 1, a = 2,3a = 2an12n + 2n
8、+1/ 2 1、解：由 3a= 2a+ a 得a = a + a，设a ka = h(a ka )n+2n+1nn+23n+13 nn+2n+1n+1n2 1 1 1 比较系数得k + h = 3，一kh = 3，解得k = 1,h = 或k = 3,h = 1 若取k = 1, h = -；，则有a3n+2a -a 是以-斤为公比， n +1n31 a a = ( )n1n +1n3由逐差法可得a = (a a ) + (a a ) + (a a ) + annn1n1n2211n 一1+ a，求数列匕的通项公式。nna = (a a ) n +13n+1n以a - a = 2 -1 = 1
9、为首项的等比数列2 1=( )n-2 + ( )n一3 + .+ ( )2 + ( ) + 1 + 11 ( b n-1 =31 +134设各项均为正数的数列 的前n项和为S ,对于任意正整数n,都有等式：a 2 + 2a = 4Snn立，求la】的通项an.n解：a 2 + 2a = 4S n a 2 + 2a = 4S ,n n nn 1n 1n 1 a2 a2 + 2a 2a = 4(S S ) = 4ann1nn1nn 1n(a + a )(a a 2) = 0，丁 a + a 丰 0 , a a nn 1 nn1n n1nn1a 2 + 2a = 4a n a = 2.1 1 1 1
10、 a = 2 + 2(n 1) = 2nn(1)通过分解常数，可转化为特殊数列a +k的形式求解。一般地，形如an+ 1 = 3 1一(一 1) n-1 + 1 = 74347 3 X ( 1) n1443nn=2.即匕是以2为公差的等差数列,nn+1npa +q (p1,pq弄0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a + k=p （a +k）与原式比较系数可得n+1npk-k=q,即k二斗，从而得等比数列 a +k。p -1n（2）通过分解系数，可转化为特殊数列a - a 的形式求解。这种方法适用于a二pa + qann-1n+2n+1n型的递推式，通过对系数P的分解，可得等比数
11、列a - a :设a - ka二h（a - ka ），比较n n -1n + 2n +1n +1n系数得h + k = p,-hk = q，可解得h, k。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造” 若已知条件给的是 数列的递推公式要求出该数列的通项公式.（1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.（2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.（3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种常用方法。（4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
