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1、排列组合及二项式定理复习学案名称内容分类原理分步原理定义相同点都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题不同点1)2)1)2)名称排列组 合定义符号计算公式典型题例0.(1) 一蚂蚁沿着长方体的棱，从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看，如，蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法，从局部上看每类又需两步完成，所 以，第一类，m1 = 1X2 = 2 条第二类，m2 = 1X2 = 2 条第三类，m3 = 1X2 = 2 条所以，根据加法原理，从顶点A到顶点C1最近路线共有N = 2 + 2 + 2 = 6 条 例1. 75600有多少个正约数？ 解：由于 75600=24
2、X33X52X7(1) 75600的每个约数都可以写成2/ - 3八5k 7/的形式，其中0 i 4, 0 j 3 , 0 k 2 , 0 l 1于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成，即i, j,k,l分别在各自的范围内任取一个值, 这样i有5种取法，j有4种取法，k有3种取法，l有2种取法，根据分步计数原理得约数的个数 为 5X4X3X2=120 个.变式：75600有多少个奇约数？例2. (2)如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种 颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步
3、完成，第一步，m1=3种，第二步，m2=2种，第三步，m3=1种，第四步，m4=1种，所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N = 3 X 2 X1X1 = 6 = A|变式：1. 如上图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使 用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2. 如图一，要给，四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色，则不同涂色方法种数为(若变为图二，图三呢?图三例3. (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法?(2) 有5种不同的书，
4、要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例4. (1) 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2) 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？(3) 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?(4) 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?例5. 7位同学站成一排,（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外
5、四个人也必须站在一起说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）.例6. 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）.例7. 5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列.例8.按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法?（1）甲、乙、丙三人必须当选；(2) 甲、乙、丙三人不能当选；(3) 甲必须当选，乙、丙不能当选；(4) 甲、乙、丙三人只有一人当选；(5) 甲、乙、丙三人至多2人当选；(6) 甲、乙、丙三人至少1人当选
6、；例9. (1) 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法?(2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女 生参加，有多少种选法？错解：C2C1C1 =24。种选法,引导学生用直接法检验，可知重复的很多54 6例10. 4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有 多少种？例11. (1)把6个“0”和5个“1”排成一排，有多少种排法?(2)将分别写有a、b、c、d、e、f、1、2、3、4、5的11张卡片排成一列，要求数字从小到 大，字母按字母表顺序排成一列，共有多少种排法？例12. (1)身高互不相
7、同的6名男生和5名女生排成一列，且男生从高到低、女生也从高到 低，则不同的排法有几种？、(2) 从一楼到二楼共有17级台阶，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步从一楼上到二楼走完这个楼梯，共有多少走法？(3) 从5X6的方格的一个顶点到对角顶点的最短路线有多少条？(如图)AB12 3例13.化简：- + - + - +匕. J I n-1+n提小:n-1 _11 n (zz-1)! n(4) 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛，每校至少有1人，这样有几种选法?(2)1x1!+2x2!+3x3!+ +x!.提示：mxm! = (m + 1)!-m!例 14.求证：(1)竺;=
8、 135 (2n-l) 2n-nl(2)求证：Ci + 2。2 + 3。3 + hCn n 2-i.nnnn证(法一)倒序相加：设S = Ci + 2C2 + 3C3 + nCn nnnn又,： S = nCn +( l)C-1 + ( 2)C-2 +2C2 + Ci nnnn n Cr = Cn-r ,C = C , Cl = CT ,n nn n n n由+得：2S = (。0 + Ci +。2 +C)，n n nn S , n , 2 n 2-1,即 C*i + 2(72 + 3。3 + nC = 2-i.2n n nn(法二)：左边各组合数的通项为rC r rnn n-(n-l)! 八
9、 =nCr-i, r!(n-r)! (r-l)!(n-r)!（要使用公式rCr=nCr-i有证明的过程）nn-1.（后续的步骤请同学们自己完成）练习：!1. 若=，则工=（）(D) Asn-3（A） A3（B） An-3（C） Annn32. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两 端，不同的排法共有（）A. 1440 种B. 960 种C. 720 种D. 480 种3. 用数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A） 288 个（B） 240 个（C） 144 个（D） 126 个4. 若二项
10、式（3x2 - X）n （neN*）的展开式中含有常数项，则的最小值为（）2x3A. 4B. 5C. 6D. 85. 如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）A. 15对B. 25对 C. 30对D . 20对6. 设全集U = a,b,c,d,集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且A B = a,求集合A、B在本题的解的个数为 （）42 B. 21 C. 7D. 37. 在一条南北走向的步行街同侧立8块公益广告牌，广告牌的底色可选蓝绿两种颜色.若要求相邻的两块广告牌的底色不同为绿色，则不同的配色方案为（）A. 28 B. 29 C. 55 D
11、. 568. 对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可染红黄蓝三种颜色中的一种,但是不允许相A. 24 B. 30 C. 36 D. 48邻的边有相同的颜色则不同的染色方案有（）2A5 + 3 A68-计早-9uir=（m-1）!_An-im-l9. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？10. 将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有 种不同的分配方案？11. 某校开设9门课程供学生选修，其中A5,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方
12、案。（用数值作答）12. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）13. 壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组 种 币值？14. 某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有种.（以数字作答）15. 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班, 不同的安排方法共有 种（用数字作答）16. 将数字1,2, 3, 4, 5,6拼成一列，i己第i个数为。（i = 1,2, ,6），若。壬1,。壬3,。5 ,i135。a ,则不同的排列方法有种（用数字作答）.135
