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1、作业基本信息 名称 提交某个数学概念的理论分析以及基于APOS理论的教学设计 所属章节 专题7 APOS理论/作业 分值 0 截止提交时间 2012.10.06 作业类型 必做作业 作业要求作业：从自己所教的教学内容中，选取某个数学概念进行理论分析，并运用APOS理论进行教学设计。（注意：不是所有数学概念都能运用APOS理论进行教学设计）要求：提交某个数学概念的理论分析以及基于APOS理论的教学设计。基于“APOS理论”的“排列”教学设计下面对 “排列”概念的进行APOS理论分析以及基于APOS理论的教学设计操作阶段多元表征，体验感悟教师要结合学生的数学思维特点，通过从生活中帅选排列例子，如排
2、队等，创设合理的问题情境，指导学生亲自参与操作活动，让学生在活动中体验，在操作中感悟，为真正理解概念积累经验.教师要善于以旧引新，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的原则，有目的、有计划地提供适当的感性材料，材料既要能反映概念的本质，又要在学生的“最近发展区”内，找准知识的生长点，保证材料的适度性、典型性、有效性和针对性，尽可能地激发学生参与活动的意愿，给予学生充分表达自己看法的机会，力求在学生自主思考、自由交流以及相互之间观点的交锋中，撞击出思维的火花.过程阶段问题驱动，抽象概括教师要设计富有启发性、探索性、层进性的问题驱动学生对“操作”自觉地思考，尝试抽象、概括、一般化，引导学生的思维不断深入
3、.“过程”中的感悟比“操作”中的体验更重要，“过程”中隐性的思维比显性的“操作”更重要.教师要留给学生充裕的时间进行思考，保证学生真正意义上的参与.教师要对学生可能出现的课堂生成或思维障碍有充分的预判，并及时有效地进行反馈调节.需要特别强调的是，“问题串”的设计是否符合学生的思维特点，是否起到“脚手架”的作用，是“过程阶段”成败的关键.另外，抽象概括出概念关键属性的过程必须是教师引导下的学生自主行为，教师绝不能包办代替，也不能以“伪探究”的形式走过场.对象阶段总结提炼，适时辨析教师要引导学生对“过程”阶段得出的概念的各种属性及时进行总结提炼，使概念的本质属性成为一个整体，从而得到概念的严格定义
4、，并进行符号化表示.教师要启发学生用自己的语言来表述相关属性，注意自然语言、图形语言、符号语言的有机结合与适时转化.在对概念下定义以后，教师应该对概念定义中的关键词进行辨析，让学生明白无误地理解每一个关键词的含义，要求学生能正确叙述定义，并能举出符合定义的实例，这两者的结合是防止学生死记硬背、克服形式主义教学的有效措施.图式阶段变式建构，多元联系教师要充分发挥传统变式教学的优势，把交织着的概念的本质属性和非本质属性分离开.同时，用开放性问题、实际情境性问题、学生自己举反例、作概念图表等多种方式，多渠道、多角度地丰富学生对“对象”的理解，帮助学生的认识上升到“图式”的层次.要做到“瞻前顾后”，注
5、重概念的前后联系，注重在概念体系中学习概念，以促使学生形成良好的认知结构，正如布鲁纳所说：“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识，一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命.”“多元联系表示”是理解和掌握概念的金钥匙.一、操作阶段：教师在简单引入之后，提出如下问题：问1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别担任班长、学习委员，有多少种不同的方案？学生动手操作，然后回答.由于该问题比较简单，学生可能出现利用树形图法、枚举法、分步计数原理等得出解答，教师小结每种方法的优点，有意识地追问利用分步计数原理的思考过程，并加以提炼，得到：班长、学习委员分别相当于位置1、位
6、置2，位置1有种选法，相应地，位置2有种选法，不同方案数为.问2：数字、可以组成多少个无重复数字的三位数？学生操作这个相对复杂的问题，教师让学生比较不同方法的优劣，发现树形图法、枚举法由于情况较多，有点困难，而利用分步计数原理相对简单，类似问题1，得到：无重复数字的三位数个数为.问3：在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？ 学生在解决该问题的过程中，更加体会到利用分步计数原理的优越性，得到：不同方法数为321=6.这里，学生的动手操作，为下个阶段的反思
7、提炼奠定了基础.二、过程阶段：问4：上述3个问题，具体的研究对象和任务都是不同的.从问题类型上看，它们有没有共同之处？学生反思3个问题的类型，将“3人中选2人”、“5个数中选3个”、“3旗全选”抽象概括为“从个不同元素中取出（）个”，将“分别担任两个职务”、“组成三位数”、“排成一队” 抽象概括为“选出的元素要排顺序”.所以，共同之处是“先取（元素）后排（顺序）”.问5：从问题的解决方法上看，它们有没有共同之处？学生不难得出，虽然树形图、枚举法都是可行的，但从简便的角度看，利用分步计数原理更为合理，更具有一般性.至此，“排列”概念的本质属性得以凸显，推导排列数公式的思想方法得以生根.三、对象阶
8、段：问6：这种“先取后排”的问题就是今天要学习的问题：排列.你能叙述排列的定义吗？学生尝试给排列下定义，教师适时纠正、补充，板书定义. 排列：一般地说，从n个不同的元素中，任取m（mn）个元素，按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列问7：排列的主要特征有哪些？两个排列相同的条件是什么？进一步引导学生巩固概念，抓住概念中的关键词.得出：排列的主要特征是元素的互异性与有序性；两个排列相同的条件是：元素相同，元素的顺序也相同.问8：从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作，排列与排列数是“个体”与“数量”的关系.那么，排列数
9、的计算公式是什么呢？教师引导学生回顾前面三个实例中的求解方法与步骤，紧扣分步计数原理，由简单到复杂，由特殊到一般，层层推进，得出公式.进而分析公式的结构特征，明确公式的作用（即：对于排列问题，可直接利用公式求出排列的个数）.至此，学生对排列的概念有了初步的认识（明确了定义，会将排列数用符号表示，并推导出计算排列数的公式）.四、图式阶段问9：判断下列问题是否为排列问题？若是，求出排列数.（1）从，中任取两个不同数相乘，可得到多少个不同的结果？（2）从，中任取两个不同数相除，可得到多少个不同的结果？（3）从甲地到乙地共有个车站，共需准备多少种车票？（4）封信投入个信封，有多少种不同的投法？（5）封
10、信投入个信封，每个信封至多投一封，有多少种不同的投法？师生共同讨论，能将排列问题与其它问题区分开来，深化对排列概念的理解.问10：为了简便，以后我们将称为的阶乘，记作.如何将排列数用阶乘表示？教师引导学生利用配凑因子，将排列数公式化为阶乘的形式，并让学生思考的必要性与合理性.问11：利用排列概念解题与利用分步计数原理解题，二者之间有何联系与区别？此处旨在加强排列概念与已学知识的联系性，让学生明确：任何一个排列问题都可以纳入到分步计数问题中去，它是分步计数问题的特殊情况，但分步计数问题不一定是排列问题.当一个分步计数问题特殊为一个排列问题时，就可以整体考虑，利用排列数公式简化计算.至此，学生的认知结构得到了充实与优化，形成了一个大的、新的图式，如下
