《数值分析中常见的差值方法介绍》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析中常见的差值方法介绍（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章插值与拟合方法1问题的描述与基本概念已知a, b上实函数f 3)在n +1个互异点x E a , b (i = 0,1,n)处的函数值 f (x ) (i = 0，1，,n)，要求估算f (x)在a,b中某 i点x的值.1)插值问题的描述找近似函数P (x)，满足P(x) = f(x) (i = 0,1,., n) P (x)称为/(x)的一个插值函数；f (x)称为被插函数;点二为插值节点； P(?=fx(旧0，1；.，n)称为插值条件; R(x) = f (x ) P(x)称为插值余项。当插值函数P(X)是多项式时称为多项 式插值.为获得唯一的插值多项式，设nP (x) = z a
2、xk.k用H表示次数不超过0的多项式集合.n定理1 H中满足插值条件的插值多 项式是存在且唯一.证明仅证唯一性.设有 P(x) G H , Q (x) G H ,P(x) = Q(x )= f (x) (i = 0,1,n).iii令R (x) = P( x) - Q( x), 那么R (x )g H .因为 nR(x )= P(x) -Q(x )= f (x) - f (x) = 0 (i = 0,1,n), 所以R(x)有n+1个零点由代数基本定理有 R(x) = 0，因此 P(x)三 Q(x)。n = 1 时，2 Lagrange 插值设 L (x) e H， 满足 L (x ) = f
3、 (x ), 111 00Li( Xi) = f (X1).- x x “ x xL (x) = f (x )L + f (x ).10 x x 1 x x0110n = 2时，设L (x) e H，满足 L (x ) = f (x )222 ii(i = 0,1,2).将 L2(x) 写成L (x) = f (x )l (x) + f (x )l (x) + f (x )l (x), 10 01 12 2其中l (x )(i = 0,1,2) 是二次多项式，满足 i(i, j = 0,1,2)可求得(i = 0,1,2)7 / 、 一2 x - xl (x) = n 匕k=0 i k k尹i
4、例一已知数表y=f(x用抛物插值计算f (2)的近似值.一般地，n 一 一L (x) = f (x)l. (x),其中i=o一,、 n X Xl (x) = n 卜(i = 0,1, n).k=0 i kk 尹 i. 一 、l (x)(i = 0,1, n)具有性质1, i = j八.(i, j = 0,1, n).0, i 丰 jl (x)称为Lagrange插值多项式，而l (x) (i = 0,1, , n)称为 Lagrange 插值基函数 (x)n+1例二证明:l (x) = n+( )(i = 0,1, , n)i n+1 ino(x) = n(x - x ).定理2设/（）3）在
5、务b上连续，f（+1）（-）在（a,b）上存在，互异节点、Ea,b （k = 0,1, , n,）,匕（x） 是满足插值条件的插值多 项式，则有对任何x ea, b成立R (x )=f (x)_Ln (x )=： 幻(x), &e (a, b)式中 (x)=n(x - x).n+1k=0k设f在甚5上有/nd阶导数，若能得到M = max fM （x）,则有余项估计式 1 3b9R （X）+1、Ico （X）, x g a,bn+ ly! ”+i例三证明由下列插值条件X01 352 1222y=f(x 1353214044所确定的Lagrange插值多项式是一个二次 多项式.Uss a s c
6、oiz mdLu.S8 SW 一 OM 一 0Z0 一 0 M ( 下3:(下e(下M辛：+(下E(下B早(下M早rmz当=%时，有0N (% ) = a = f (% ), 得出a =f(%0当% = %赋有 001可得N (% ) = a + a 3 - % ) = f (%),n 101101% )依次取 %2, %3,., %声利用插值条件就可做解出a , a . ,a，从而求出n (%)的具体形式23nn为将解出的系数a , a , a ,a用公式表012 n示出来，引进差商的概念.称川=f(x )为函数f (x)关于节点x的零iii阶均差，称f (x) - f (x)f x., x
7、. =Jj i为函数f (x)关于节点勺x的一阶均差，称f x , x f x , x f x , x , x 二 i ji j kx - xx , x , x的二阶均差. 一为函数f (x)关于节点i j k般地，有了.1阶均差后，称f x ,x ,.,x f x ,x ,.,x f x x x i i ii i i x , x , x 12k01k，01ikx xk0为函数f (x)关于节点x , x , x的k阶均差.l0 l1lk均差性质n f (x),x =,j= k+1 j(x)=(x - x )(x - x)(x - x)k+11k2均差关于节点是对称的3f (x)在a, b上存
8、在阶导数，则均差与导数关系为f x, x ，x = f t,ea, b例一一设f (x) =x + 5x3 +1,求f2,21, f2,21, ,27和 f2,21, ,27创：+(hm(hh)rr&1C 03v+3zn3JI 10 10 0 KK)KOKKW +K0KKKW 0 0 00 u I+尽 iD+s-WJ+(X) *3cos+f +3.SS3S 叔 w SSK co?z Rm由擂g 唳雎-ttg 勺)(0 (x)=fx,x , ,x to (x) 侦 + 1)! +1On n+l设工=工可得71+1fx ,X, X = f(n+i y0+i( + l)!差商表Xf(X)一阶差商二阶
9、差商n阶差商X0X1X2i/ (X) 0f (X)1f (X)21*f X0, Xf X , X 12.f X0, X, X2t事.Xnf (X )nf Xn_Xf Xn_2, Xn_X疽f X ,X，,X 例二已知数表x013y=f(x132)用二次Newton插值计算/（2）的近似值.研究性质 f (X) - f (X0)=f x, x0(x - x0)在多 元函数时的推广.考虑问题00H (x) - H (x)= VH (x, x)t (x一 x)x=(x, x , , x )T , x = (x , x , , x )T , VH (x, x) 12 一 n12n是关于x和x的函数.以
10、二元函数为例，可取 H (x ,x )-H (x ,x ) 1212x - xH (xx, xx ) 一 H (x, x )1212rx - xj 1 aH0 d xj 1a H0 d x222(x + 8 ( x x - x) d 8(x + 8 ( x - x) d 8（这两个函数称为离散梯度）.利用以上离散梯度可构造保能量算法Zn + 1 = Zn + hJ - 1VH (Zn + 1, Zn )以上二维讨论可推广到多维的情况.例三给定数表x 124568fX)028121828-试用二次和四次Newton插值多项式计算f (5.8)的近似值 .例四 设P (x)为f(x)关于节点x,x
11、，-,xj j+k+1j j+1 j+k+1的k+1次Lagrange插值多项式，证明下列递推关系(x 一 x ) P(x) - (x 一 x) P(x)P(x) = _ j j+1,j+k+1j+k+1 j,j+kj+k+1jj =0,1,n-k-1, k=0,1.,.,n1.考虑Neville方法.插值条件为P (x) = f (x.) (i = 0,1,-, n)(x) EH , P(x )=f (x ), j = 0,1, ,k.由例三lk&匕 ljljP (x) = f (x )ii(x 一 x )P(x) 一 (x 一 x )P(x)Pi i ii i ix 01kk0k=101L
12、. x - x .iki0Neville 方法k 0123XP0(x)0P (X)01XPi(x)P (x)1012P (X)P (X)120123XP2(x)P (x)2123P (X)23XP3(x)设函数/在等距节点七=勇+妙(k=0,1, /)上的值匕=)为已知，这里常数 h 0,称为步长.*臣号=f fk k+1 k分别称为六X)在X处以为步长的一阶向 k前差分及一阶向后差分一般可定义阶差分为Xmf Am-lf _ m-lf kk+1kN m f =N m- f N m- f kkk均差与差分的关系Amff%气i, ,口 -mh证明：m = 1时，f X , X = k+1k = k ,k k+1h h命题成立.假设m = s-1时命题成立，m = s时，f X
