《数列中的奇数项和偶数项问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列中的奇数项和偶数项问题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品感谢下载载a ann为偶数2an 1 n为奇数41I1设数列an的首项aaw一，且an141记bna2n1,n=l,2,3,.4(I)求a2,a3；(II)判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；解：(I)a2=ai+1=a+,a3=a2=1a+1;44228/“、.，11,311,3(II)-a4=a3+a+,以年一a4a+,4282416以b1=a1=a,b2=a3=(a),b3=a5=(a),444244441猜想：bn是公比为1的等比数列2证明如下：因为bn+1=a2n+1=a2n=-(a2n-1)=bn,(nCN*)424242所以bn是首项为a-,公比为二的等比数列422在
2、数列an中，a1=0,且对任意kN,a2k1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.(I)证明a4,a5,a6成等比数列;(n)求数列an的通项公式；(I)证明：由题设可知，a2a122,a3a224,a4a348,a5a4412,a6a5618。从而,所以a4,a5,a6成等比数列。aa42(II)解：由题设可得a2k1a2k14k,kN*所以a2k1a1a2k1a2k1a2k1a2k3a3a14k.42k1 ,k由 a10 , 得 a2k 12k从而a2ka2k 1 2k2k2.所以数列an的通项公式为an2n22nLn为奇数2或写为an2设Sn为数列an的前n项和，Sn（II ）若
3、对于任意的解析：（i）当n 1,a1n 2,an Sn经验,n 1,(n)即(4 km k对任意的m万,nkn2n,a2m,N ,其中k是常数.a4 m成等比数列,求k的值.1,Sn1 kn2）式成立,am, a2m,a4m成等比数列,1)2(2km k 1)(8kmN 成立,k(n 1)2 (n 1)2kn k 1 ()an2kn k2a2mamdm，1),整理得：mk(k 1) 0,（2009北京文）（本小题共13分）设数列an的通项公式为anpnq（nN,P0）.数列bn定义如下：对于正整数mbm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值.一411.(I)右p,q-，求b3；23（n）若p
4、2,q1,求数列bm的前2m项和公式;（出）是否存在p和q,使得bm3m2（mN）?如果存在，求p和q的取值范围;如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题111120(i)由题息，得ann一，解一n3,得n.,232337.11r-n3成立的所有n中的最小整数为7,即b323(n)由题意，得an2n1,/日m1对于正整数，由m,得n2根据bm的定义可知当 m 2k 1 时，bm .* 一 .k k N ；当 m 2k 时，bmb b2 Lb2mbib3 Lb2m 1b2 b4
5、Lb2m123Lm234Lmm1mm32_m2m.22(m)假设存在p和q满足条件，由不等式pn q m 及 p 0 得 n,bm3m2(mN),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有mq3m1-3m2,即2Pq3p1mpq对任意的正整数m都成立.P当3P 1 0 (或3P 1 0)时，得mpq八2pq、(或m-),3p13p1这与上述结论矛盾！12当3p10,即p-时，得一q033存在p和q,使得bm3m2(mN)；一，一、12p和q的取值范围分别是p-,-q33已知数列an和bn满足：a1为实数，n为正整数.2n,an1-ann4,bn(1)n(an3n21)，其中3(i)对任意实数，
6、证明数列an不是等比数列;（n）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论;（出）设0ab,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n,都a Sn b?若存在，求 的取值范围;若不存在，说明理由本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,（满分14分）（I）证明：假设存在一个实数入，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即（I 3）2（44）4 2所以an不是等比数列.八42-八一92490,矛盾.9（n）解：因为 bn+i=（-i）an+i-3( n-1)+21=(-1) n+1( - an-2 n+14
7、)3=2(-1)n(an-3n+21)=-bn33又b1X-(入+18),所以当入=18,bn=0（nCN+）,此时bn不是等比数列:当入w 18时，bi=（入+18） W0,由上可知bnW0,ba 1bn242 (nC N+).3故当入手-18时，数列 bn是以一（入+ 18）为首项，一2f为公比的等比数列.3（出）由（n）知，当入=-18, bn=0, Sn=0,不满足题目要求. 2. .入 w -18,故知 bn=-(入 +18),(一一)3n-1Sn=- -(18) 1 ( 253要使aSnb对任意正整数 n成立,即 a ( X +18) , 1 ()b(n N+)a尔于1 ( 2)n
8、33(18)5令f(n) 1 (2),则55当n为正奇数时，lf(n)_；当n为正偶数时，一f(n)1,3955，f(n)的最大值为f(1)=_,f(n)的最小值为f(2)=_,39一一一533于是，由式得-a-(X+18),3bb183a18.955当a3a存在实数入，使得对任意正整数n,都有a&6时,n(n1)221,即当n6时,Sn2证法令cnn(n2)22(n6)，则Cn1cn(n1)(n3)n(n2)所以当6时,cn1cn.因此当6时,n(n2)221.综上所述，当n6时，|Sn2设Sn是数列an(nn2,3,4,L.(I)证明：数列an2(II)试找出一个奇数2n1222n10.6时，cnc668641.N*)的前n项和,且S23n2anS：1,an0,an(n2)是常数数列;a,使以18为首项，7为公比的等比数列bn(nN*中的所有项都是数列an中的项，并指出bn是数列an中的第几项.20.解：(I)当n2时，由已知得S2S：i3n2an.2因为anSnSn10,所以SnSn13n.
