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1、.初中数学 二次函数解题技巧、知识点速记口诀、几何知识点146条I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+ca,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2;+bx+ca,b,c为常数,a0顶点式：y=a2;+k 抛物线的顶点Ph,k 交点式：y=a 仅限于与x轴有交点Ax1,0和 Bx2,0的抛物线 注：在3种形式的互相转化中,有如下
2、关系: h=-b/2a k=/4a x1,x2=/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴即直线x=02.抛物线有一个顶点P,坐标为 P -b/2a ,/4a 。当-b/2a=0时,P在y轴上；当= b2-4ac=0时,P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时,抛物线向上开口；当a0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。4.一次项系
3、数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时即ab0,对称轴在y轴左；当a与b异号时即ab0,对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于0,c6.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。 = b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。V.二次函数与一元二次方程特别地,二次函数以下称函数y=ax2;+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程,即ax2;+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。画抛物线yax2
4、时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。二次函数解析式的几种形式一般式：yax2+bx+c .顶点式：ya2+k.两根式：ya,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c0的两个根,a0.说明：任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya2+k,抛物线的顶点坐标是,h0时,抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时,抛物线a2的顶点在x轴上；当h0且k0时,抛物线yax2的顶点在原点如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax2；如果对称轴是y轴,但不过原点
5、,则设y=ax2+k 定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c a,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量,y是x的函数二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c顶点式抛物线的顶点 P ：y=a2+k交点式仅限于与x轴有交点 A 和 B 的抛物线：y=a以上3种形式可进行如下转化：一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax2+bx+c,其顶点坐标为-b/2a
6、,/4a,即 h=-b/2a=/2 k=/4a一般式和交点式的关系 x1,x2=-b/2a2012中考数学精选例题解析：一次函数1知识考点：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。精典例题：例1二次函数的图像如图所示,那么、这四个代数式中,值为正的有 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个解析：10答案：A评注：由抛物线开口方向判定的符号,由对称轴的位置判定的符号,由抛物线与轴交点位置判定的符号。由抛物线与轴的交点个数判定的符号,若轴标出了1和1,则结合函数值可判定、的符号。例2已知,0,把抛物线向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线
7、的顶点是2,0,求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点1,0；新抛物线向右平移5个单位,再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为,则原抛物线的解析式为,又易知原抛物线过点1,0,解得原抛物线的解析式为：评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系,以及所对应的解析式间的联系,并注意逆向思维的应用。另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有：开口反向或旋转1800,此时顶点坐标不变,只是反号；两抛物线关于轴对称,此时顶点关于轴对称,反号；两抛物线关于轴对称,此时顶点关于轴对称；探索与创新：问题已知,抛物线、是常数且不等于零的顶点是
8、A,如图所示,抛物线的顶点是B。1判断点A是否在抛物线上,为什么？2如果抛物线经过点B,求的值；这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能,求出它的值；若不能,请说明理由。解析：1抛物线的顶点A,而当时,所以点A在抛物线上。2顶点B1,0,；设抛物线与轴的另一交点为C,B1,0,C,0,由抛物线的对称性可知,ABC为等腰直角三角形,过A作AD轴于D,则ADBD。当点C在点B的左边时,解得或舍；当点C在点B的右边时,解得或舍。故。评注：若抛物线的顶点与轴两交点构成的三角形是直角三角形时,它必是等腰直角三角形,常用其斜边上的中线高等于斜边的一半这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、
9、选择题：1、二次函数的图像如图所示,OAOC,则下列结论：0；。其中正确的有 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到函数图像的解析式为,则与分别等于 A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、143、如图,已知ABC中,BC8,BC边上的高,D为BC上一点,EFBC交AB于E,交AC于FEF不过A、B,设E到BC的距离为,DEF的面积为,那么关于的函数图像大致是 A B C D4、若抛物线与四条直线,围成的正方形有公共点,则的取值范围是 A、1 B、2 C、1 D、25、如图,一次函数与二次函数的大致图像是 A B C D二、填
10、空题：1、若抛物线的最低点在轴上,则的值为。2、二次函数,当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大。则当时,的值是。3、已知二次函数的图像过点0,3,图像向左平移2个单位后的对称轴是轴,向下平移1个单位后与轴只有一个交点,则此二次函数的解析式为。4、已知抛物线的对称轴是,且它的最高点在直线上,则它的顶点为,。三、解答题：1、已知函数的图像过点1,15,设其图像与轴交于点A、B,点C在图像上,且,求点C的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润S万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和S与之间
11、的关系。根据图象提供的信息,解答下列问题： 1由已知图象上的三点坐标,求累积利润S万元与时间月之间的函数关系式；2求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；3求第8个月公司所获利润是多少万元？3、抛物线,和直线0分别交于A、B两点,已知AOB900。1求过原点O,把AOB面积两等分的直线解析式；2为使直线与线段AB相交,那么值应是怎样的范围才适合？4、如图,抛物线与轴的一个交点为A1,0。1求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；2D是抛物线与轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式；3E是第二象限内到轴、轴的距离的比为52的点,如果点E在2中的抛物线
12、上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APE的周长最小？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由。参考答案一、选择题：BCDDC二、填空题：1、2；2、7；3、；4、2,2,；三、解答题：1、C,1或,1、3,12、1；210月；35.5万元3、1；2304、1B3,0；2或； 3在抛物线的对称轴上存在点P2,使APE的周长最小。中考数学精选例题解析函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：例1已抛物
13、线为实数。1为何值时,抛物线与轴有两个交点？2如果抛物线与轴相交于A、B两点,与轴交于点C,且ABC的面积为2,求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点,则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根,将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：1由已知有,解得且 2由得C0,1又或或例2已知抛物线。1求证：不论为任何实数,抛物线与轴有两个不同的交点,且这两个点都在轴的正半轴上；2设抛物线与轴交于点A,与轴交于B、C两点,当ABC的面积为48平方单位时,求的值。3在2的条件下,以BC为直径作M,问M是否经过抛物线的顶点P？解析：1,由,可得证。2又 解得或舍去3,顶点5,9,M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,因此,善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化,是解相关问题的常用技巧。探索与创新：问题如图,抛物线,其中、分别是AB
