《数值分析整理版试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析整理版试题及答案（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、X-112f(x)-304求f(x)的Lagrang屋次插值多项式和NewtonD次插值多项式。解:(1)由题可知Xk-112yk-304插值基函数分别为10(X)X-X1X-X2x-1x-21-=x-1x-2xo-Xix0-x211-1-26X-X0x-x2I|X1x-2111(x)=x1x-2X1-X0xi-X.111-22X-X0|X-X1|X1X-11l2(x)=0-=-X-1X1X2-X0X2-X1212-13故所求二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)=yklkxk=0c1,-3x-16cc1.C,1x-20-2x1x-243X1X-114=一；x-1x-2-x1x-1235237=
2、-xx-623(2)一阶均差、二阶均差分别为Xo，XlfX0-fXi与0X0-X1-11fMxjJX1-fX2二史x1-x21-2Xo，Xi，X2=fXo,X1：.fX1,X224X0-x2-1-2均差表为Xkf(Xk)一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton次插值多项式为P2X=fX0flX0,X1!X-X0-flX0,X1，X2!X-X0X-X135_x16x1x-15237二一Xx-623例2、设f(x)=X2+3x+2,xW0,1,试求f(x)在0,1关于P(x)的最佳平方逼近多项式。,：，=span.1,x;解:若G=span1,x,则阳x)=1,中1(x)=x,且P
3、(x)=1,这样，有10,0=1dx=1,0：1,：11=x2dx01,0,1-1,0-xdx=,021f,0=.x20233x2dx=1129f,1=xx3x2dx=04所以，法方程为112112再回代解该方程，得到ai=4,ao=U6故，所求最佳平方逼近多项式为S*(x)=114x6例|3、设f(x)=ex,xe0,1,试求f(x)在0,1上关于P(x)=1,9=spanl,x的最佳平方逼近多项式。解:若G=span1,x,则邛(x)=1,中i(x)=x,这样，有1。0，0=1dx=101211,1：l：lxdx=-03110,1i:i1-1,0=.xdx=彳021f,0=exdx=1.7
4、18301f,1=xexdx=10所以，法方程为12和_”18311J-13解法方程，得到a。=0.8732,a1=1.6902,故，所求最佳平方逼近多项式为_*S1(x)=0.87321.6902x例4、用n=4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分j&x解：(1)用n=4的复合梯形公式由于h=2,f(x=,xk=1+2k(k=1,2,3)，所以，有9一1x/xdx处T4h:=-f12，fXkf92k12_=-J23.5,79=17.2277(2)用n=4的复合辛普森公式由于h=2,f(x)=TX,Xk=1+2k(k=1,2,3),*卜/=2+2k(k=0,1,2,3),所以，有215/Xdxf
5、cS4h。f14fx6kN11+2Ef(Xk)+f(9J22)1=14.2-.46.82,3.5,733=17.3321例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。12x1-3x23x3=15-18x13x2-x3=-15x1x2x3=6解：先消元12-33(Ab)=-183-1111if-183-112-33：111151-156-151562一m21二一，第1仃丈_m21）#2仃_第2仃，3，1m31=_,第1仃及_m31）埔3仃t第3仃311831-1803-176-1731718-155316|18376-1-1-1517/1831/67.35m32=3,第2行乂332）箱73行t第3
6、行T1-180I03760-11718227-1531/6667再回代，得到X3=3,X2=2,X|二1所以，线性方程组的解为X1=1,X2=2,X3=3例6、1一X141X13用直接三角分解法求下列线性方程组的解。11-X2,X3=95611八一X2X3=8451-x1x22x3=8解:1413121514则由A=LU11615一1=121132u12U220u13U23U33=LU的对应元素相等，有1,照=5,1l21u11=1一13421二二31u13，61l31u11=二一2l31l21u12u221一二一u22422160，l21u1311=U23=,52345l31u12+l32u
7、22=1=l32=一36,13l31u13l32u23u33一2Mu33一15因此,A=LU-143N-36解Ly=b,即-1432-1401151601516061N51315011y2尸以31811614513一91,曰8，行y=9,y2=/,y3=154X24,得x3=177.69,x2=476.92,x1=227.08.X315415所以，线性方程组的解为x=-227.08,x2=476.92,x3=-177.691、若a是n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵l和上三角阵U,使A=LU唯一成立。（）ff (x)dx 定 A f (xi )3、形如ai=1确度的次数为2n+1。2、当n之8
8、时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。的高斯（GausS）型求积公式具有最高代数精:）910,A=1114、矩阵912.）的2范数仰2=9。（）z2aa0、A=0a05、设k。0aJ,则对任意实数a#0,方程组Ax=b都是病态的。（用hoo）（）6、设AWRnX：n,QWRnX：n,且有QTQ=I（单位阵），则有1A2=IQA2。（）7、区间a,b】上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（X）2、（V）3、（X）4、（V）5、（ X6、（ V ） 7、（ X ） 8、（ X一、判断题（10X1）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b一定可以使用高斯
9、消元法求解。（乂）2、解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。（）3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naii-aaij（i=1,2,.,n）jTj=i则解线性方程组AX=b高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。（X）4、样条插值一种分段插值。（7）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。（）6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。（）7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。（X）8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。（
10、X）9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。（）10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差10001.用计算机求Z100时，应按照n从小到大的顺序相加。ndn2.为了减少误差，应将表达式 ,2001 - J1999改写为22001,1999进行计算。3 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题、填空题:4-1A = 14- 0-101八A=-14J,则A的LU分解为一ir-11I4-10A=-1/4115/4-1答
11、案:00-4151JL56152、已知f=1.0,f(2)=1.2,f(3)=1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得3Lf(x)dx，用三点式求得定O答案：2.367,0.253、f(1)=-1,f(2)=2,f(3)=1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为,拉格朗日插值多项式为。11L2(x)=-(x-2)(x-3)-2(x-1)(x-3)-(x-1)(x-2)答案：-1,224、近似值x*=0.231关于真值乂=0.229有(2)位有效数字；5、设f(x)可微，求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是()；_xn-“Xn)xn1-xn一答案1T(xn)6、对f(x)=x3+x+1，差商f0,1,2,3=(1),f0,1,2,3,4=(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为b一a(2n由)；10、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);.、一f(x)dxf(x)dx，一f(-)f(),11、两点式高斯型求积公式of(X)dX=(b22V32弋3)，代数精度为(
