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1、第六部分 插值与拟合实际生活中经常会遇到这样的问题：给定一批数据点，需要确定满足特殊要求的曲线或曲面。如果要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，这就是插值问题，在数据教少的情况下，这样做能取得较好的效果。但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂，同时，给定的数据一般是由观察测量所得，往往带有随机误差，因而，要求曲线（面）通过所有数据点就既不现实也不必要。如果不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。函数插值与数据拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。
2、一、 插值问题1、拉格朗日插值若知道函数在互异的两个点和处的函数值和，而想估计该函数在另一点处的函数值，最自然的想法是作过点和点的直线，用作为准确值的近似值，如果认为误差太大，还可增加一点的函数值，即已知在互异的三个点和处的函数值和，可以构造一个过这三点的二次曲线，用作为准确值的近似值。【定义1】一般的，若已知在互异的个点处的函数值，则可以考虑构造一个过这个点的次数不超过的多项式，使其满足 （1）然后用作为准确值的近似值。此方法就叫做插值法，这样构造出来的多项式称为的次拉格朗日插值多项式或插值函数。称点为插值结点，称式(1)为插值条件，含的最小区间叫做插值区间。【定理1】满足插值条件(1)的次
3、数不超过的多项式是存在的而且是唯一的。1.1 线性插值公式已知函数在互异的两个点和处的函数值和，欲求一个次数不超过1的多项式，使其满足：， （2）根据定理1，是存在而且唯一的，称为线性插值函数或一次插值多项式。用点斜式可以写出过点和点的直线方程：，因此，将它写成对称式为 （3）我们称(3)式为拉格朗日线性插值函数或一次拉格朗日插值公式。若引入记号：，则(3)式可以写成： (4)其中满足：我们称为线性插值或一次拉格朗日插值的基函数。例1 根据下表给出的平方根的值，用线性插值计算，149161234解：取最接近的两点为插值节点，运用插值公式（3），得1.2抛物线插值公式 已知函数在三个互异点和处的
4、函数值和，欲求一个次数不超过2的多项式，使其满足： (5) 根据定理1，是存在而且唯一的。下面仿照线性插值时构造插值函数的方法，用基函数的线性组合作出满足(5)的二次插值多项式，此时有三个基函数：,它们都是二次函数。分别满足下列条件： (6) 由上述条件可以推出的表达式：例如：由于是的零点，故必为形式，为待定系数，又由于，代入此式解出，从而得到的表达式为：同理可得：根据以上讨论，我们得到二次插值多项式为： (7)称为抛物线插值函数或二次插值多项式。例2 根据例1的数据，用抛物线法计算的近似值。解：选择与最接近的三点为插值节点，根据抛物线插值公式(7)，有练习：已知在处的函数值，求的近似值。1.
5、3一般情形 一般的次插值问题是构造满足条件(1)的次数不超过的多项式。与构造线性和二次插值多项式类似，次拉格朗日插值公式可表成次插值基函数的线性组合， (8)其中是次多项式，且满足 (9)与前面推导类似，可以由(9)式得到的具体表达式： , (10)为便于书写，引进记号：,取在处的导数，得于是拉格朗日插值公式可写为：1.4插值多项式的余项本段讨论用次插值多项式来近似函数时的误差。记并称为次插值多项式的截断误差，或称为插值余项。【定理2】假设函数在上有阶导数，且 (11)是经过数据点的次数不高于的多项式。则对区间上的任何都存在(依赖于)，使得 (12)其中 (13)插值公式的余项可以给出多项式逼
6、近的误差估计。2、分段插值多项式历来都被认为是最好的逼近工具之一。用多项式作插值函数，就是前面的代数插值。一般情况下，似乎可以靠增加插值结点的数目来改善插值的精度，但插值多项式的次数会随着结点个数的增加而升高，可能造成插值函数的收敛性和稳定性变差，逼近的效果往往是不理想的，甚至会发生龙格振荡现象。（龙格在本世纪初发现：在区间上用个等距结点作插值多项式，使得它在结点的值与函数在对应结点的值相等，当时，插值多项式在区间的中部趋于，但是对于满足条件的，并不趋于在对应点的值。这种现象就叫做龙格现象。）若插值的范围较小（在某个局部），用低次插值往往就能奏效，例如对 在每个子段上用线性插值，即用连接相邻结
7、点的折线逼近所考察的曲线，就能保证一定的逼近效果。这种增加结点，用分段低次多项式插值的化整为零的处理办法称为分段插值法，也就是说不是去寻求整个插值区间上的一个高次多项式，而是把插值区间划分为若干个小区间，在每个小区间上用低次多项式进行插值，在整个插值区间上就得到一个分段插值函数。区间的划分是任意的，各个区间上插值多项式的次数的选取也可按具体问题选择。分段插值法通常有较好的收敛性和稳定性，算法简单，克服了龙格现象，但插值函数不如拉格朗日插值多项式光滑。这类插值大致可分为两类：一类是下面要介绍的局部化的简单分段插值；另 一类是非局部化光滑性较好的分段插值，即后面要介绍的样条插值。 2.1分段线性插
8、值在分段插值中，用得较多的是分段线性插值。【定义1】设在区间上取个结点： (14) 在区间上有二阶导数的函数在上列结点的值为(15)于是得到个数据点。联结相邻两点得条线段，它们组成一条折线，把区间上这条折线表示的函数称为函数关于这个数据点的分段插值函数，记为它有如下性质：(1) 可以用分段函数表示，在区间上连续。(2) 在第段区间上的表达式为 (16)由此构造插值基函数：则 (17)对分段线性插值的余项估计有下列结果：【定理1】设给定结点为在上存在，则对任意的，有，其中2.2三次样条插值 分段线性插值函数在结点的一阶导数一般不存在，光滑性不高，这就导致了样条插值的提出。 在机械制造，航海等工业
9、中，经常有这样的问题：已知一些数据点如何通过这些数据点作一条比较光滑（如二阶导数连续）的曲线呢？ 解决这一问题的方法是：首先把数据点描绘在平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用压铁固定细直条的形状，沿样条边绘出一条光滑的曲线。往往要用几根样条，分段完成上述工作，这时应当让连接点也保持光滑。对这一用样条绘出的曲线，进行数学模拟，这样就导出了样条函数的概念。【定义2】设在区间上，已给个互不相同的结点 (18)而函数在这些结点的值。如果分段表示的函数满足下列条件， (1) 在子区间的表达式都是次数不高于3的多项式; (2) ;(3) 在整个区间上有连续的二阶导数
10、。就称为在基点的三次样条插值函数，简称三次样条。 在区间上，是不超过三次的多项式，故是线性函数，令 (19)由拉格朗日线性插值公式，得 (20)其中, 由(20)得 (21)由于满足插值原则，并且在全区间有直到二阶的连续导数，又由(21)知在上存在且为常数，所以由泰勒公式有： (22)将代入(22)，可解得 (23)将(23)代入(22)，得到在上的表达式： (24)由此可见，只要能求出,就能完全确定。下面利用存在且连续的条件推导应满足的关系式。在上，的表达式为由上式利用导数的定义容易计算出在的左导数为：(25)令，整理后得到： (26)再令 (27) (28)则(26)式可写为 (29)即得
11、到含有个未知量的个方程的方程组。要确定未知量还需补充两个条件,它们通常在区间的两端给出，称为边界条件。常用的边界条件有三种：(1) 边值条件：给定端点处的一阶导数，即(2) 边值条件：给定端点处的二阶导数，即已知。特别取时称为自然边界条件，求得的称为自然样条函数。(3) 周期边值条件：当是以为周期的周期函数时，要求也是周期函数，故端点要满足。给出任一种边界条件都可以得到两个独立的方程，将它们与(29)联立就得到个方程，解出之后代入(24)便得到三次样条函数在各个子区间上的表达式，以第二种边界条件为例，为已知数，于是(29)化为： (30)三对角方程组(30)的系数矩阵按行严格对角占优，所以它的
12、行列式不等于零，从而方程组的解存在并且唯一，可用追赶法求解。（追赶法的程序）三次样条函数的计算步骤如下：(1) 由(27),(28)计算;(2) 由方程组(29)结合给定的边界条件求出确定的方程组，并求解;(3) 将代入(24)，得到的分段表达式。以上三种插值方法都是一维插值，它们有如下特点：拉格朗日插值（高次多项式插值）其插值函数在整个区间上是一个解析表达式，便于再次开发利用；曲线光滑；误差估计有表达式；收敛性不能保证（振荡现象）。用于理论分析，实际意义不大。分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）：曲线不光滑（三次样条插值已大有改进）；误差估计较难（对三次样条插值）；收敛性有保证。简单实用
13、，应用广泛。除此之外，还有Hermit插值，不少实际问题中不但要求在节点上函数值相等，而且要求导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，满足这一要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。下面只讨论函数值与一阶导数值个数相等且已知的情况。已知个插值节点及其对应的函数值和一阶导数值，则计算插值区域内任意的函数值的Hermite插值公式:其中 二. 用MATLAB解插值问题1、 一维插值MATLAB在一维插值函数interp1中，提供了四种插值方法选择：线性插值，三次样条插值，三次插值和最近邻点插值（linear,spline,cubic,nearest）。Interp1的基本格式为：interp1(x,y,cx, method) 对一组节点进行插值，计算插值点的函数值 其中分别表示为节点向量值和对应的节点函数值，如果为矩阵，则插值对的每一
