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1、理解是学生学好数学的关键（江苏省如皋中学 冒建生 226500）美国国家研究理事会（NRC）于2003年发布了学习与理解的研究报告，指出：成功的学习是一种理解性学习，学习项目应当围绕着概念的深度理解而组织，课程与教学设计应当遵循理解性的学习原则. 我国普通高中数学课程标准的实施建议中也指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿于高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.”无疑，理解性学习能使数学学习过程处于良性循环状态：有意义地利用原有知识进行新知识的学习，不仅能较容易地理解、记忆和应用新知识，而且也使旧知识得到应用而达到复习、巩固的效果；理解性学习还
2、可以让数学的概念和原理，建立起广泛的、紧密的联系，增强学习者的知识迁移能力，从而提高他们的数学思维能力和创新能力.显然，理解已经成为课程与教学的核心要求，而且对于理解的认识，已经深深的融汇了我们对于知识与学习的新的认识，“为理解而教”促使我们从多个角度来把握学生对知识的理解状况，从而组织起更为有效的教学实践活动.本文就以笔者听过的一堂课椭圆标准方程的推导（比赛课）的三个片断为例，谈谈在上述问题上的思考和认识.1课堂引入的提问起点在哪里，才能关照学生现有的知识基础和理解水平教学片断一课堂引入老师提出了4个问题.师：解析几何这门学科研究问题的基本思想是什么？（提问1）生1:数形结合.师：基于上述研
3、究思想，解析几何这门学科主要的两大任务是什么？（提问2）(见学生有困难,教师提示如下)师:在数学2中，我们是如何解决直线或圆的有关问题的？师：解析几何这门学科主要有两大任务：一是建立曲线的方程；二是用方程来研究曲线的几何性质.师：你是如何理解“直线（圆）的方程”的？（提问3）生3：它是一个变量的等式.师（追问）：除此之外，直线（圆）上的点与方程的解之间还要满足什么样的对应关系呢？生3：一方面，直线（圆）上的点的坐标都是方程的解；另一方面，方程的解为坐标的点都在直线（圆）上.师：我们是如何建立圆的方程的？（提问4）生4：（略）师：该过程可以概括为：（1）建立平面直角坐标系；（2）设曲线上任一点的
4、坐标为；（3）写出动点所满足的条件；（4）将动点的坐标代入上述关系式；（5）化简整理，得曲线方程.大家知道，本课的核心内容是椭圆的标准方程，它的基础是椭圆概念，解决由“形”到“数”的问题，“形 ”是“数”的“固着点”. 在目前的中学数学教学中，学生获得这两个概念的方式是不同的.椭圆的教学一般用“概念同化”方式，而椭圆的标准方程教学运用“概念形成”方式.概念的同化属于接受性学习，刚开始学习椭圆时，学生对椭圆概念的理解还处于经验性理解阶段：一方面，学生刚刚涉入解析几何的“深水区”，椭圆的概念比起“直线、圆”的概念要复杂得多，概念中有不少的关键词如：平面上、动点、距离、定值等，又有限制条件“常数大于
5、两个定点之间的距离”；另一方面，椭圆与最相近的“圆”还是有实质性差异的，学生学习这个概念在原有的知识结构中少有同化点，根据皮亚杰的认知发展理论，学生学习椭圆的概念，主要依靠建立新的认知结构，来顺应“椭圆”的知识. 处于经验性理解阶段的椭圆概念，具有不稳定性、模糊性和易错性，而这个概念是本堂课学习“椭圆的标准方程”的直接基础，为什么不把这么重要的基础概念椭圆作为课堂引入的提问对象呢？有人认为，这种课堂引入是传统的复习提问，过时了，学生复述概念不见得对学生理解知识有什么帮助，比赛课的提问设计要有所“创新”和与众不同，这样才“容易吸引评委的眼球”，受到大家的“好评”.首先，传统的针对数学学习的核心概
6、念和主题的提问是必要的. 通过提问可以推动学生围绕核心概念和主题建立起合理的知识结构，促进他们课后有效的复习和记忆. 记忆，是人们学习知识的主要心理现象之一，没有记忆，一切理解将化为泡影. 语言学习都强调记忆，数学是科学的语言，同样需要记忆，只有良好的数学记忆，才能获得对数学知识、方法、思想的深刻理解，诚如张奠宙教授总结的中国数学教学四个特征之一：记忆通向理解以至形成直觉.2004年，著名物理学家杨振宁在清华大学讲授物理学的基础课，9月17日文汇报对此进行报道，其中有句话是：“对于基本概念的理解要变为直觉”.当日，张奠宙教授发e-mail给杨先生问此话是否表达了他的原意.并在信中说“这句话，我
7、们以为非常重要，是对熟能生巧教育古训的注解，西方的教育强调理解，很对. 东方的教育强调基础，那么基础与理解的关系如何？这句话是一个解答. 理解与直觉的关系在基本概念的部分有联系.”当天，杨振宁先生就有回复说：“关于变为直觉的那段摘引是正确的”.对于基本概念的理解为什么要变为直觉？因为需要节省思维空间，直觉就是不假思考，由直接感受而获得的思维材料.当进行科学思考或学习新知识的时候，要把思考的对象集中于人类（学习者）尚未知晓的部分，把那些已经熟知的常识和真理，都变成不需要占有太多思维空间的直觉，这是世界大家治学、科研的经验之谈，相信不少人也有同样的感受.当然，要将学生对椭圆概念的理解提高到直觉的水
8、平，有一个从量变到质变的过程，这个过程应落实于学生课后的复习巩固中，也应该体现在教师的课堂提问检查中.有教学经验的老师都知道，在刚学完椭圆定义时的课堂提问中，学生回答椭圆概念出现不准确、不完整、不熟练的现象是比较普遍的.实践证明，教师有针对性的提问，让学生用自己的语言复述，可以发现学生对椭圆概念理解的不良状况，从而为推导椭圆的标准方程教学进行决策；同时通过对椭圆概念的精致性复述，使相关刺激信息得到组织，从而使椭圆概念在更深层次上获得加工，并逐步转入长时记忆.其次，对于课堂提问1，执教者是想通过回忆或传授“数形结合”的策略，以期对学生学习本课内容提供帮助.然而，研究表明：尽管人们可以学习策略性行
9、为，但不能自动地将所学策略用于新的情境或领域，即是说，一般地传授一些问题解决的策略对学生并没有多大的帮助，因为他们实际上是知道这些策略，但是，不会将这些策略运用到新的情境，而不会用的原因是他们缺乏使用这些策略所需要的特定领域的知识. 事实上，假设学生只知道椭圆的定义，对推导椭圆标准方程的过程一无所知，学生不知道建立什么坐标系方程才是最简洁的，还要寻求化简的策略；加上运算求解的过程较为复杂（方程平方后等式两边字母多、项数多、次数高）；之前也没有可供参考的直接经验，老师即使把“数形结合”的观念喊破了嗓子也无济于事.因此，提问1完全没有必要作为课堂引入的提问，要让学生体会“数形结合”的思想，可以留到
10、课尾让学生来“回顾反思”，即采用“先做再说”方法处理较为妥帖.对于提问2，它不能导致学生有效的思维活动，学生刚学完解析几何初步，对解析几何核心内容一无所知，怎么可能站在很高的角度来理解和认识这门学科的思想精髓呢？难怪老师提问后还是由自己回答了，这就说明教师的提问应符合学生现有的认知发展水平：要注意学生已经具备了那些相应的知识，学生的知识和能力已经获得了怎样的发展，课堂提问必需建立在学习者已有认知基础上，向学生提出他们力所不及的问题是无效的提问.对于提问3，无论是直线（圆）方程的概念，还是曲线的方程概念，都具有一定的抽象性，教材的处理是恰当的，考虑到曲线的方程概念对本堂课影响不大，待学生学完所有
11、的圆锥曲线后，再来把两个概念进行比较，把“直线（圆）方程”拓展为“曲线的方程”，这种做法符合陈重穆教授的数学教学32字诀中“先做后说”的要求：许多数学内容是在操作中慢慢领会的，通过先做后说，以及再说再做，学生才能不断地加深对数学知识、方法的理解.再次，问题4是本堂课推导椭圆的标准方程应遵循的步骤，必须保留. 这样，课堂引入提出两个问题：（1）椭圆的定义是什么？你认为哪一点要特别注意？（2）我们是如何建立圆的方程的？这样的引入设计既简洁明快，节省时间，又紧扣主题和核心概念，显得十分紧凑、有效；也符合学生现有的认知基础和理解力. 2 教师如何发挥主导作用，才能使学生深化对数学方法、策略的理解教学片
12、断二师：我们建系设点之后，接下来做什么？生5：将点的坐标代入关系式：中，得：.师：可以把它作为椭圆的标准方程吗？生6：太复杂了，用起来不方便.师：怎么办？众生：化简.师：如何化简？请大家试试看，待会儿请同学上来用实物投影展示自己的成果.(78分钟后，教师挑选了两名学生上台展示)生7：我是直接平方的（边投影边讲解，略），最终得：.师：你真了不起，如此复杂的运算在这么短的时间内完成了.生8.我直接平方后发现运算太困难了，所以就先移项后平方（边投影边讲解），最终结果也是.师：如果说学生7的意志力值得敬佩，那么学生8的理性态度值得欣赏.接着，老师带领学生转入另一种标准方程的讨论.师：要想确定方程：是所
13、求的方程，我们还有什么工作要做？生9：一是验证椭圆上的任一点的坐标都是方程的解，二是验证方程的解为坐标的点都在椭圆上.师：说得好，这个工作留给大家课后去完成.本节课的教学重点和难点都在于推导椭圆的标准方程，在建立直角坐标系后，得到方程：.面对这样复杂的代数式，对于为什么要化简及如何化简，教师没有恰当的、深入的指导或提示；当老师挑选出两位学生展示他们各自推出的结论后，没有对学生的表现给出方法或策略方面实质性的评价；更没有对已有的方法提出改进或优化的思路，使学生的学习停留在表面化的、经验性的阶段. 特别地，在推导出椭圆的标准方程：后，把验证满足上述方程的解为坐标的点都在椭圆上的任务，用“这个工作留
14、给大家课后完成”的一句话打发了事，教师的启发、指导学生提高学习和理解水平的作用没有得到充分的发挥.这种课堂设计让笔者想起了在中国网站上看到的一段论述：在建构主义的课堂中，重点从教师转到了学生，课堂不再是向被动的学生灌输知识的地方，学生不再是空的容器等着被灌输.在建构主义（教学）模式中，要使学生主动参与到自己的学习过程中，教师的作用更多的是促进者，他们指导、调停、鼓动和帮助学生发展与评估自己的理解和学习. 教师的最大任务就是提好问题.把教师的最大任务定格为“就是提好问题”，这种观念的实质是只注意了学生的主动参与，而忽视或削弱了教师的主导作用.我国传统的“教学相长”的理念，并不主张“学生中心”或“
15、教师中心”的西方二分法的观念，而是积极倡导教与学的平衡、和谐，这种思想体现在数学教学过程中，既要有教师控制课程进展和启发、讲解的一面，也要有学生丰富多样的探究、实践活动的一面.新的课程理念绝不是否认教师在课堂上的主导作用.事实上，教师应该在领会教材及解决数学问题等方面胜过学生，他（她）应该知道学生初学时想不到的和想不深的地方，他应该掌握每段知识学习的规律，还应该有帮助学生克服困难、纠正错误和提高理解层次的各种方法、策略.笔者以为，对上述问题作如下的改进效果似乎好一些.（1）为什么要化简方程：？师：根据圆的定义，圆上的动点满足：，两边平方后得：,尽管的几何意义明显一些，可人们为什么将称为圆的标准
16、方程？设计目的：启发学生思考“为什么要化简”，得出化简的目标是将无理式转化为有理式.这样，学生在明确的“目标”指引下开展化简的探究活动.（2）如何化简？根据学生的不同情况，教师有必要进行更有针对性的指导，如对于班级基础差、计算存在较大困难的学生，可以为他们设计“小步子、小弯子”的学习策略：师：圆的方程的化简，因为只有一个根式，只要一次平方就转化为有理式；而含有两个无理式，那么，如何去除根式？这样可以启发学生说出两种方案，并进行比较和选择：方案一：直接把方程两边直接平方:,方案二：方程移项后两边同时平方，即方程：两边同时平方：.学生边观察、边心算就能够对两种方案的优劣作出判断.教学比赛课前，老师一般会布置学生预习
