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1、第三章 证明（三）特殊平行四边形（一）一、学生知识状况分析学生知识技能基础：学生在初二平行四边形一章中，已经学习了三种特殊平行四边形矩形、菱形和正方形，对三种图形的性质和判定已经非常熟悉并能运用这些知识解答简单的几何问题；同时，通过证明（一）和证明（二）两章的学习，学生也已经有了一定的推理论证能力，并且在前一节的学习中，进行了对平行四边形性质和判定的证明，学生具备了独立证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊
2、平行四边形性质和判定定理的能力；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。二、教学任务分析课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标
3、上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，作到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此，本节课我们要达到的具体教学目标为：1 能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2 经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推
4、理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3 学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；4 通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。三、教学过程分析本节课设计了六个环节：第一环节，课前准备；第二环节，课题引入，对比思考；第三环节，教师引导，独立证明；第四环节，实际应用，练习提高；第五环节，课堂小节，回顾思考；第六环节，作业布置。第一环节：课前准备活动内容：办一期数学手抄报（本章开始时布置）可以以分组或者独立完成的形式，以平行四边
5、形和特殊平行四边形的相关知识为主要内容办一期数学手抄报。（1） 手抄报中必须要包含平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系图，对相关的性质和判定定理的总结。（2） 对平行四边形的题目中经常用到的数学思想方法进行简单的归纳。（3） 要有典型例题的讲解归纳。活动目的：通过这个活动，首先是学生能够主动地对平行四边形的相关知识有一个系统的认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习和预习，激发学生对本节知识的学习兴趣。同时，对平行四边形进行归纳，可以使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系，为后面连续几节研究特殊的平行四边形提供有力的支持。此外，这个活动，也可以激发学生的积极性
6、和主动性。活动的注意事项：办手抄报这样活动，在八年级平行四边形相关知识的复习中，就可以出现，如果当时学生已经有了比较系统的归纳总结，教师可在学习本章知识时，将学生以前办的手抄报再发给学生，让学生进行对照比较，从而提高学生的认识，特别是可以让学生关注八年级这部分知识是否经过了严格的数学证明，现在学生又是否能证明这些知识。在本章开始时，就把这个任务布置给学生，不仅可以让学生在学习知识前有一个预习的过程，更主要的是，这张手抄报可以作为每一节的知识点体系出现，学生在课堂上可以对照自己所总结的知识体系，进行有针对性的学习，这张手抄报通过在这章学习中的不断使用，可以得到完善，使学生在结束本章知识时，自然地
7、有了一套完整的复习资料。同时，强调学生对知识、方法和典型例题进行总结，还可以锻炼学生归纳概括知识点的能力，为学生摸索出适合自己的学习方法提供帮助。在这项活动中，不必要求每个学生都独立完成，对于学有余力的学生，应当鼓励他们独立完成，但对于学困生，可以让他们通过与他人合作的形式进行这项活动，使他们也能有所收获。对于学生作品，可以在班级内进行一个小评比，让学生从内容的完整性、内容的严谨性、版式设计等方面进行比较，选出比较好的作品，在班级中展示。通过这样的小活动，可以再次把学生的兴趣提升，对于接下来学生融入本节知识是非常有利的。八年级平行四边形的学习中，学生已经接触了分类关系图，所以在此学生可能的设计
8、形式有很多，但在教学中，教师要注意学生是否对自己的分类做出了说明，特别是从平行四边形过渡到矩形和菱形时是否正确运用了二者的定义或者判定定理，还应鼓励学生用多种方法来说明。在典型例题的设计中，要让学生注意到自己所使用的思想方法，并尽量让学生提炼出自己的方法。学生在这里可能不能很完整地用语言说明，教师可在课堂上进行实物展示时，引导学生进行说明，如下面一例：本班学生金某在自己设计的好题回放环节中，选择了一个题目：已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积。本题恰好是本节要研究的矩形的性质和判定的应用，在实物投影时，金某结合自己的解法进行
9、分析，说明自己首先通过平行四边形入手，得到AC、BD互相平分，又通过等边三角形得到AO=BO，从而推得四边形ABCD是矩形。在这个分析过程中，恰当地运用了综合法，从而通过分析这道题，不仅使学生对本节要研究的矩形知识有了准备，更对综合法这个思想方法有了认识。第二环节：课题引入，对比思考活动内容：将选出的比较好的手抄报进行实物投影，请学生对自己设计的关系图进行说明并把自己选的典型例题进行简单讲解。再请学生对比前面所学的平行四边形的性质和判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的性质和判定定理。然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后通过实物投影的形式，各小组之间进行交流。对比前一节学习的平行四
10、边形性质定理，引导学生对矩形独有的性质定理进行证明：定理1 矩形的四个角都是直角；定理2 矩形的对角线相等；定理3 有三个角是直角的四边形是矩形；定理4 两条对角线相等的平行四边形是矩形。（1） 学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；（2） 对比平行四边形性质定理的证明，对已知、求证进行分析；（3） 请学生交流大体思路；（4） 用规范的数学语言写出证明过程；（5） 同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。活动目的：矩形的性质学生已经非常熟悉，但还未经过严格的证明，这里的证明首先可以让学生对这两条矩形的性质和判定有更深刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解
11、题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。活动注意事项：对于本节矩形的四个定理，学生已经非常熟悉，而且通过对比平行四边形的相关证明，学生不难证明四个定理。所以，教师在这里可以不必让每个学生都去证明四个定理，而是通过分组的形式，让学生选择自己要证明的定理，加入那个小组，每个小组去证明一个定理，这样不仅有利于学生的合作交流，同时还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。同时，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，特别是有没有更多的方法来证明这些定理，
12、在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。这四个定理，对学生的证明要求不高，但需要学生画图，并写出已知求证，这对部分学生来说有一定困难，教师在此时可以注意引导，让学生首先分析出定理中的条件和结论，然后让学生仿照前面平行四边形的证明，写出已知和求证，同时对他们做出分析，这个学生分析的环节是发展学生推理论证能力的关键。对于定理1，可以由矩形的定义推出，同时，还要使用“对角相等，邻角互补”这一性质，这个性质的证明，对
13、学生不存在太大困难。对于定理2，可以由定义和全等三角形证明。但这个证明过程，有的学生可能会出现这样的错误，把对角线相等当作条件使用，教师需要重点关注这种情况，对于出现这种错误的学生，应该让他再次对题目的已知和求证进行分析，并且引导他注意观察自己的思路存在混乱的问题，理清他的思路。对于定理3，利用“同旁内角互补，两直线平行”证明平行四边形是比较简单的方法，如果学生采取其他方法，也应当鼓励。对于定理4，学生采取的方法大多利用全等三角形证明平行四边形某两个邻角相等，又互补从而推出直角，这里也要注意鼓励学生采取不同的方法证明。在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过
14、程是否严谨清晰。第三环节：教师引导，独立证明活动内容：1通过学生对议一议的讨论，在教师的引导下，得到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个结论，并证明；2 教师给出书中例一，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解法。活动目的：运用刚刚证明的两个性质解决问题，进一步发展学生的推理能力，同时，通过对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明，让学生体会转化的数学思想。在活动2的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。活动注意事项：1议一议的目的
15、是通过一个问题情境让学生探索直角三角形斜边中线与斜边的关系，对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明有着重要作用，学生通过讨论“议一议”，可以发现后面证明时把直角三角形转化为矩形的方法。而同时，议一议的研究，不仅用到了矩形特有的对角线相等的性质，也用到了对角线互相平分的性质，教师在此可以结合这一点，再次强调特殊平行四边形具有一般平行四边形的所有性质。通过议一议，学生可以比较容易的观察出结论。2对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明，应当注意的是，它与议一议中问题的条件并不是相同的，因此，在得出这个推论之后，应该要求学生说明原因。这个推论的证明，也是可以有许多方法的，有的学
16、生可能会想到用度量直接求出，这是教师应该首先鼓励，然后引导学生用证明来说理。对于不同层次的学生，考虑的方法也会有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去试着解决。有的学生可能会想到用前面刚学的中位线的方法来添加辅助线，然后用比例推导结论，这种想法就非常值得鼓励；还有的学生可能会马上想到用议一议的方法来构造辅助矩形，从而把直角三角形的问题转化到矩形中来解决。对于每一种方法，教师都应让学生先说清自己的思路，然后严格的证明，特别对于学困生，要求要有所侧重，让他们也能找到一种自己可以成功的方法，从而有所收获。对于教材提供的构造方法，也可以有多种方法，如下面两种：已知直角三角形ABC，B是直角，E是AC中点A D
