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1、一、题目用向前差分格式计算如下热传导方程的初边值问题du小d2u小-小4=2,0 x 1,0 t 1dtdx 2 u (x,0) = ex ,0 x 1u(0,t) = e2t,u(1) = e1+2t,0 t 1 已知其精确解为u (x, t) = ex+2t二、考虑的问题作为模型，考虑一维热传导方程：dud 2u=a+ f (x),0 t T(1.1)dtdx 2其中a是正常数，f (x)是给定的连续函数。现在考虑第二类初边值问题的差分逼近：初始条件：u(x,0) =Q(x),0 x l(1.2)边值条件：u(0,t) =n (t)，u(l,t) =Y(t)，0 t T(1.3)假设f (
2、x)和9 (x)在相应区域光滑，并且在x = 0,l满足相容条件，使上述问题有惟一充分光滑的解。三、网格剖分取空间步长h = n和时间步长T = ，其中N,M都是正整数。用两族平行直线x = x = jh( j = 0,1,L ,N)和 t =t = k (k = 0,1,L ,M)将矩形域 G = o x l;0 t tj k分割成矩形网格，网格节点为(x ,t )。以G表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合； j khG表示所有位于闭矩形G的网点集合；r = G -G是网格界点集合。hhh h其次，用uk表示定义在网点(x ,t )的函数，0 j N,0 k Mjj k四、建立差分格式将
3、方程在节点（x，tk）离散化,dud 2Udx 2j = 1,2,L , N -1k = 1, 2L, M (1.4)对充分光滑的解u，由Taylor展式:u(x ,t ) = u(x ,t ) +严xj，P +上 d2u(xj，丄 + O(t3)(1.5)j k+1j kdt2 dt 2du(x ,t ) h2 d2u(x ,t ) h3 d3u(x ,t ) h4 d4U(x ,t )、u (xj+1，tk)=u (xj，tk)+hr+ixr+石 ixr+(h5)(1.6)du(x ,t )h2d2u(x,t )h3d3u(x,t )h4d4u(x,t )、u(x , t ) = u(x
4、, t ) h / k +/ k / k +jk + O(h5)j-1 k j kdx2dx23!dx34!dx4(1.7)(1.5 )移项得：du (x , t )u (x , t ) u (x , t ) t d2u (x , t )j =j j + O(T 2)(1.8) dtt2dt 2(1.6)(1.7)相加得：d2u (x , t )(x , t ) 2u (x , t ) + u (x , t ) h2 d4u (x , t )=亠1j1 k + O(h3) (1.9)dx 2h 212dx 4将（1.8）（1.9）代入（1.4）得:(1.10)u (x , t) u (x ,
5、t )(x , t ) 2u (x , t ) + u (x, t )/= aM1 kjki k + f (x ) + Rk (u)th 2j j其中,+ O(t 2) + O(h3)t d2u(x , t ) h2 d4u(x , t ) Rk (u) =j k j kj 2dt 212dx 4舍去Rk(u)，得到逼近(1.1)的向前格式差分方程：juk +1 ukuk 2uk + ukj j = a j+1j j1 + f ， j = 1,2,L ,N 1 k = 1, 2L, M 1(1.11)th 2j其中，uk = u(x ,t )，f = f (x )jj kjj则由(1.4)由(
6、1.11)五、截断误差(3).边界条件dud 2uLu a dtdt 2Uk+1 UkUk 2uk + UkL uk j ajMh jTh 2lu k f (x )L u(x , t ) f (x ) + Rk (u)Rk (u) L u(x , tuk 耳(t ), uk Y (t )在本题中，a 2， f (x) 0，Q(x) ex，耳(t) e2t，y (t) e1+2t六、稳定性分析用傅里叶方法对差分格式进行稳定性分析以r or /h2表示网比，将(1.11)改写成便于计算的形式：uk+1 ruk + (1 2r)uk + ruk(本题中 f (x) 0)jj+1jj1以 uk vk
7、exp(ia jh)代入， 得消去expSjh)，则知增长因子G C ,t)-G 2r)+ rexpa h1 4r sm2 24r sin 2 2 1 + Mt，得ah1 Mt 1 4r sin2 1 + Mta h一1 - 4r sin2 1 + M T 恒成立2-1 - MT 1 - 4r sin2 -2.a h只需4r sm2 2 + Mt24r 21解得r -1所以向前差分格式的稳定性条件是r -七、结论抛物型方程的有限差分法的步骤大致可以归纳如下：1对区域进行网格剖分2在离散结点建立相应的差分格式3.处理初边值条件4进行稳定性分析由本题可以总结出，抛物型方程的有限差分法所得的数值解能
8、够较好地逼近方程的精确解，且区域剖分得越细，即步长越小，数值解与精确解的误差就越小，数值解越逼近精确解。附录MATLAB 程序：a 27 11aT 1取h ，T ，则r =7；，满足稳定性条件10400h 2 2711aT1、另取h ， T ，则r ，亦满足稳定性条件201600h 22711aT1、另取h ， T ，则r c，亦满足稳定性条件406400h 22format long a=2;1=1；T=1;N=10;M=400;h=1/N; to=T/M; r=(a*to)/hA2;for j=1:N+1信计1班 周晓虹20083710 x(j) = (j-1)*h；for k=1:M+1
9、t(k)=(k-1)*to;u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k);endendu %求解精确解for j=1:N+1 x(j) = (j-1)*h; us(j,1)=exp(x(j);endfor k=1:M+1t(k)=(k-1)*to;us(1,k)=exp(2*t(k); us(N+1,k)=exp(1+2*t(k);endfor k=2:M+1for j=2:N us(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1);endendus%求解数值解for k=1:M+1for j=1:N+1R(j,k)=abs(u(j,k)-us
10、(j,k);endendR%计算误差Rmax=max(max(R)%求误差的最大值精确解与数值解的比较：x=0:0.1:1;hold onplot(x,u(:,M+1),b); plot(x,us(:,M+1),y);title（t=1, h=1/10, t=1/400时精确解和数值解的比较）信计1班 周晓虹20083710 text(0.05,21,蓝：精确解);text(0.05,20,黄：数值解);hold off取不同步长时的误差比较：x=0:1/10:1;y=0:1/20:1;z=0:1/40:1;hold onplot(x,R(:,M+1),b);hold offM分别取10，20，40结论抛物型方程的有限差分法的步骤大致可以归纳如下：1对区域进行网格剖分2在离散结点建立相应的差分格式3.处理初边值条件4进行稳定性分析由本题可以总结出，抛物型方程的有限差分法所得的数值解能够较好地逼近方程的精确解，且区域剖分得越细，即步长越小，数值解与精确解的误差就越小，数值解越逼近精确解。班级：信计1班 名字：周晓虹 学号：20083710
