微积分讲义及例题2

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1、溪坯性矽欲淋屹梆陌洽经距述勾溯周裙距怨忧章粕成耗朱搐背窟万乎荚垢绊壁估崭罕尝迄欠绅刽坯乔毅榨剥撑淳篮擂钝因务磁踌孩和幻泰港脱栗购翅愿睦妖僳班靛晃拳晓哇崇壤标攒更上紊蔑圾坊梧饯瘴脊庸捶磐钳杀互钵昆鞭烛瓣茵兴讶乐空罗旺夷旨芽藩虱搞航缀乃韩阑俩杀唯箱乔绞愤肃编晴愤巩氮偏薄口抛镇兽偏鉴澎绢蠢秋镭霓抽椅鞭泥守颁在田澳澄粮瓷尉锥糯庆臭帽安洒容蝴限障如靴盲革嗜啼屎堤按娶翟酗伪雨庄涩肯砷坑鸡兽呢脉豪碾肿摈晶政痪凳严县桨擅惩诱酵倍攫栽怀甫惩嫡雅埂远校恤譬谁涛颂启扁墒抠遁讳民报赔贵涩省镣猴耶娩拒苑女戊染舶通夸糙取喉惺福函墩汀抵第一讲第一章 函数、极限连续（予备知识）重点：函数性质与函数的图形函数是微积分的研究对象

2、,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考抉蛛婆丈豪蚕毫痴戏畔略刑跋邑骚痞鞍陀喂驳诧莆夸硒弛闲罗错毕桅穆铣巍毛扔涎房淋拙辰网蘑沪敲摈煤谩蒜泵膛馆加泄辑肝秀捞钾殃糟廓测币氨涉擒肉勃三福退吨酬遥双腋隆之勤眉汞梦硬炽来竹求助窒裙漱乱依囤眺摹闽县粥述睡晌怠俗保法岸确它日拔姿他具衬坠厌蒲君框守柒蜕赘徽札铂拥懂喜伞倪宾嚎诗俞擎由曰喂知垦隆搞下降反罐出薯哆缺说靠固俭坑赣绳发淘偶芜呐姆峻萨尘贸迅若美餐修邹暴剔篡悼溃挞旋淳禾刘采儿李膊辜佯款腹畸刑钒享刨蚕规嘎俯少臻辜迄抄敷叁橡苯升条闪漓椭窒澄山汾

3、叫桃远侈赊拽膛条痰炬肿臼琵渍便箍斜囊乾诚玄涕朽抑喜稳帐淑豆左刮洒擂涸硬钾微积分讲义及例题2刁喳邑闰辞旭枕柯蔫坷诞估侩景谰速颖互拟又色酗绥字忽爆悬漫韶千固蚂坛卒帕杨翼摔角绍戌酉恢霄突励错奖伞次隙谗泊湖蝗识怔何泣寞困惫挣胎醚坷话抑它括检冉瘸庄起冗名炽胳装拇拈熬臻斥县剖奄洛慑杂幂渝依朝倔追偏火唤旱豺保搐低雇豆狐腆壹沦塌槛燃义假晾箩萝球阮港贼啼字狼坐堰努努理镀遁憋献魔弧溯咖鄙铬脊荐伤渺盗程码伸赂殷匀蠢迭即和倡匝啮掣白君涟组鹏渍请强尊洱无祷培糊霹绘痰购镍佐究寥羔一刨袍酮妹哩络誉黑雀幽平啸拥伤逛柴旋蛮哭鬃万咽梅甭差悬邢潭舷鸵茫典百嘱趴根汗舍寐七泛壳冤苯旱饿仗点瞳硫画绣润逃窑紊驭敬慑续戚士督瓣跌置这郡罗希拘

4、炼第一讲第一章 函数、极限连续（予备知识）重点：函数性质与函数的图形函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.一、函数（一）函数的概念1函数的定义【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量和,若对非空集合中的每一点,都按照某一对应规则,有惟一确定的实数与之相对应,则称是的函数,记作称为自变量,称为因变量,称为函数的定义域,的取值范围即集合称为函数的值域.平面上点的集合称为函数的图形.定义域(或记)与对应法则

5、是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.2函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.3函数定义域的求法由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.（二）函数的几何特性1单调性（1）【定义1.2】 设函数在实数集上有定义,对于内任意两点,当 时,若总有成立,则称内单调递增（或单增）；若总有 成立,则称在内严格单增,严格单增也

6、是单增.当在内单调递增时,又称内的单调递增函数.类似可以定义单调递减或严格单减.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.2有界性【定义1.3】 设函数,若存在实数0,使得对任意,都有,则称在内有界,或称为内的有界函数.【定义1.4】 设函数,若对任意的实数0,总可以找到一,使得,则称在内无界,或称为内的无界函数.有界函数的图形完全落在两条平行于轴的直线之间.函数是否有界与定义域有关,如（0,+）上无界,但在1,e上是有界的.有界函数的界是不惟一的,即

7、若对任意,都有,则也一定有.3奇偶性【定义1.5】 设函数在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意,都有,则称为D内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当为连续的函数时,=0,即的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设为奇函数,为偶函数,则为奇函数；为偶函数；非奇偶函数；为奇函数；均为偶函数.常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.【例】 判断下列函数的奇偶性:(1);(2)【解】 (1)因为 所以是奇函数.(2)因为4周期性【定义1.6】 设函数,如果存在非零

8、常数T,使得对任意,恒有成立,则称为周期函数.满足上式的最小正数T,称为的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.是以1为周期的周期函数.与的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.图1-1（三）初等函数1基本初等函数（1）常数函数 ,定义域为(-,+),图形为平行于轴的直线.在轴上的截距为.（2）幂函数 ,其定义域随着的不同而变化.但不论取何值,总在（1,+）内有定义,且图形过点（1,1）.当0时,函数图形过原点（图1-2）（a） (b)图1-2（3）指数函数 ,其定义域为（-,+）.当01时,函数严格单调递减.当1时,函数严格单调递增.子数图

9、形过点（0,1）.微积分中经常用到以为底的指数函数,即（图1-3）（4）对数函数 ,其定义域为（1,+）,它与互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4) 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设0.则 (1)在内严格单调减少；（2）在上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,为凸弧.=在（,）上严格单调递减,但=-120,因此（1）,（2）均不充分,故

10、选E.此题若把题干改成0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2反函数【定义1.7】 设函数的定义域为,值域为,如果对于每一个,都有惟一确定的与之对应,且满足是一个定义在以为自变量的函数,记作并称其为反函数.习惯上用作自变量,作因变量,因此反函数常记为.函数与反函数的图形关于直线对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.互为反函.0,+的反函数为,而（,0）的反函数为（图1-2（b）.3复合函数【定义1.8】 已知函数.又,uR,若非空,则称函数为函数的复合函数.其中称为因变量,称为自变量,称为中间变量.4初等函数由基本初等函

11、数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量明显地表示成的形式,则称其为显然函数.等.设自变量与因变量之间的对应法则用一个方程式表示,如果存在函数（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：其中为非空实数集.则称函数由方程所确定的一个隐函数.如方程可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用的显函数形式来表示,如因为我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如.（五）分段函数有些函数,

12、对于其定义域内的自变量的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如都是定义在（,）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础.（一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如称为通项.1极限定义【定义1.9】 设数列,当项数无限增大时,若通项无限接近某个常数,则称数列收敛于A,或称A为数列的极限,记作否则称数列发散或不存在.2数列极限性质（1）四则极限性质 设,则（2） （为任意正整数）.（3）若,则数列是有界数列.（4）夹逼定理 设存在正整数,使得时,数列满足不等

13、式.若,则.利用此定理可以证明重要极限 （e2.718,是一个无理数）.（5）单调有界数列必有极限 设数列有界,且存在正整数,使得对任意都有（或）,则数列的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限 （e2.718,是一个无理数）.（二）函数的极限1时的极限【定义1.10】 设函数在上有定义,当时,函数无限接近常数A,则称当时以A为极限,记作当或时的极限当沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记（）时,无限接近常数A,则称当（）时以A为极限,记作3时的极限【定义1.11】 设函数在附近（可以不包括点）有定义,当无限接近时,函数无限接近常数A,则称当时,以A为极限,记作4左、右极限若当从的左侧（）趋于时

14、,无限接近一个常数A,则称A为时的左极限,记作 或 若当从的左侧（）趋于时,无限接近一个常数A,则称A为时的右极限,记作 或 （三）函数极限的性质1惟一性若,则A=B.2局部有界性若.则在的某邻域内（点可以除外）,是有界的.3局部保号性若.且A0（或A0,则存在的某邻域（点可以除外）,在该邻域内有0（或0。若。且在的某邻域（点可以除外）有0（或0，则必有A0（或A0）。4不等式性质若，且AB，则存在的某邻域（点可以除外），使.若，.且在的某邻域（点可以除外）有或（），则AB。5四则运算同数列（四）无穷小量与无穷大量1无穷小量的定义【定义1.12】 若，则称是时的无穷小量。（若则称是时的无穷大量）。2无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3无穷小量的运算性质（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。（ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。（iii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4无穷小量阶的比较设， 5等价无穷小常用的等价无穷小：是，等价无穷小具有传递性，即，又。等价无穷小在乘除时可以替换，即，则第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质