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1、抛物线y22px(p0)卜y(T22pxp0)卜x(y1022pyp0)上xlx2(py2py)0)lF定义平向内与一个定点F和一条定直线l的跑离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。M|MF点M到直线l的距离范围x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0对称性关于x轴对称关于y轴对称隹百八、八、(会0)。焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线方程x2xiyiy1准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的跑离相等。顶点到准线的距离_p2焦点到准线的距离P焦半径A(xi,yi)AFx1-2AFx1-2AFy11AFyii焦点弦长|ab|(xix2)p(xi沟)p(y
2、iy2)p(yiy2)p焦点弦|AB|的几条性质A(xryi)B(x2,y2)oyjA*,y1金:XBx2,y2以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，则|AB2P.2sin若AB的倾斜角为，则|AB|-p-cos2P2xix2丫佻p411AFBFAB2AFBFAF?BFAF?BFp切线方程yyp(xxo)yyp(xx0)%xp(yy。)xxp(yy0)直线与抛物线的位置关系直线/)=出+8,抛物线二.产=2四,y=丘+3y=2/，消y得八2国-加+短=。(1)当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2)当kw0时，A0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；A=0,直线l与
3、抛物线相切，一个切点；A0,直线l与抛物线相离，无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)二.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：ykxb抛物线J，/,(p0)联立方程法：y kx b y2 2pxk2x2 2(kb p)x b2 0设交点坐标为A(xi，yi),B(x2,y2),则有0,以及x1x2,xx2,还可进一步求出y1y2kxibkx2bk(x1x2)2b22y1y2(kx1b)(kx2b)kx1x2kb(x1x2)b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.相交弦AB的弦长AB1k py（ p 。）,若直线l与抛物线
4、相交于A、B两点，点M （%, yo）x1x2v11k2J(x1x2)24x1x2V1k2la或b.ABk12 y1中点 M (xo, y),点差法:设交点坐标为A（x1，y1），B（x2,y2）,代入抛物线方程，得同理，对于抛物线x2是弦AB的中点，则有kABX x22p2xo xo2p P22y12pxy22px2将两式相减，可得(yy2)(y1V2)2P(xx?)yy2Pxx2y1y2a.在涉及斜率问题时，kAB-py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0),yy2P2PpxX2yy22yoy0即kAB-,yO（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同
5、的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之1和取得最小值时，点P的坐标为。(,1)22、已知点P是抛物线y2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为。叵3、直线yx3与抛物线y24x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分uuu别为P,Q,则梯形APQB的面积为。484、设O是坐标原点，F是抛物线y22Px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60,则OA为。5、抛物线y24x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为J3的
6、直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则ZXAKF的面积是。4736、已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AKJ2AF,则AFK的面积为。8xy7、已知双曲线匚1,则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线2_y2px(p0)则该抛物线的方程是。9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是。y28x2410、抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是。一311、已知抛物线y2
7、=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是o32212、若曲线y=|x|+1与直线y=kx+b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是。k=0,-1b113、已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于()CA.3B.4C.32D.4214、已知抛物线2y2px(p0)的焦点为F，点Pi(X,y1)，P2(X2,y2),P3(x&y3)在抛物线上，且2x2为X3，则有(A.FPiFP2FPiFP3FP315、已知点A(为，y1),B(x2,y2)(x1x2uuuuuuuuu向量OA,OB满足
8、OAOBuurOA(1)证明线段ab是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0解:uuir(1)证明1:QOAuurOBD.FPiFP20)是抛物线FP2FP3FP-IIFP32y2px(puurOB.设圆C的方程为x的距离的最小值为uuuuuuOAOB,uuu(OA0)上的两个动点，O是坐标原点，y2(Xx2)x(y1y2)y0。uuu2OAuuuuuu2OAOBuuu2OBuuu2OAuuuuuu2OAOBUUU2设M(x,y)是以线段即(xx1)(xx2)2时,5uuir2OB)2uuu(OAuuuOB,整理得：OAuuirAB为直径的圆上的任意一点，则MA(yy)(y20,一一
9、2整理得：x的值。uuu2OB),uurOBuuirMB0,(x1x2)x故线段AB是圆C的直径。uuuuur证明2:QOAOBuuu2OAuuu2OAuuuOBx2y1y2uuruuuuuuOAOB,(OAuuu2uuu2uuuOBOA2OA0.(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即0,x1x2yy20,(y1y2)y0,uuuOBuuu2uuuOB)2(OAuuu2OB),uuu2uuuOB,整理得：OAunrOB0,y2xx2yy1xx11(xx1,xx2),去分母得：(xx)(xx2)(yy)(yy2)0,点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y?)满足上方程
10、，展开并将(1)代入得:22xy(xx2)x(y1y2)y0,故线段AB是圆C的直径。uuuuur证明3:QOAOBuuu2uuuuuuOA2OAOBuuuuur整理得：OAOBuurOAuuu2OB0,uuuOB,uuu2OAuuu(OAuuuuuu2OAOBuuu0uuuuuu0OB)2(OAOB)2,uuu2OB,yy20(1)以线段AB为直径的圆的方程为(xxix2)2Vy22i(yT4(xi、2/、2x?)(yiy),展开并将(i)代入得：x2y2(xx2)x(yiy2)y0,故线段AB是圆C的直径(2)解法i:设圆C的圆心为C(x,y),则xx2x2yiy2y-V-22Qyi2px
11、i,y22Px2(p0),X1X222y1V2一一-,又因xix2yi4py20，XiX2yiy2,yiy22vv4P2xix20,yiy20，2yiy24p,xx2x2i/2(yi4p2y2i(2(yi4p2y22yiv2)苗i/2(yP2p2),所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则i22I(y2p)2y|x2y|p_22py2pI5pI(VP)2-5p当y=p时,d有最小值上，由题设得上5、52.55p2.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则xix22Vy22_2Qyi22pxi,y22Px2(p0),x1x22yy24P2,又因x1x2yiy20,xx2yiy2
12、,yiy222号，Qxix20,yiy20,yiy24P2,xixx22i22i24；(yiy2)而(yi2y22yiv2)专i22一(y2p),p所以圆心的轨迹方程为y2px2p2,设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为2岔则m522,因为x-2y+2=0与ypx共点,所以当x-2y-2=0与y2px2p2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为2p2无公2、55x2y20L2_2ypx2pL将(2)代入得y22py2p22p0,4p24(2p2Q2p)0,02.解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则xix22yiy22圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则|2x_xd2(yi2)I.5-2Qyi22pxi,y22px2(p0),xx222yiy22-,又因xix24p2yiy20,xix2yi22yiV2y2-,Qxix20,4p,iz22、I(yiy2)(yiy
