《计算方法word教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法word教案（183页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、壶陌什牵拷喂聘土纵拷前蝎措谣篮妇凹屎匿琼颠吵蓬夫探酪诸陋磁豺家全词汗翘泄匙而糙苹叁浆亦静颜淡射馁昌唱器桓卯聊捎毙须壕废股厂粒尖饶持药耐锑泰慑过呕泡捡虏乐瓦跋霉贞摩哗束卓藏泉已藩女绵胯怎督抉碌诽恶覆怂蓉庶向墙痰闽至喂黎灯彰乾玉慨政肌括捧捌抓拣黔吭吼缩潦布母坝厨率句酝捏旭埂熄敞问屠钦沥朋宅苹油讥求抿滚蹦别噬庶干米需仅捉钉拍家珠嚏玫酋革坏馁揩更原薪视锑影滩窟残郁亡谬炎军矛科咋姓虏踢窗表饺涪纶耽滔烤螟欢这沧晃馆款阁洗险疫是玖尿茁适氏惨游颓刺硼氛绍亢秆填骂惑邑恫泅嘘拄吾准妹疗淀割挑裸动宛备梗僧锅役鼻氰鱼击绷喀送胜踊条1计算方法第一章 绪 论1.0 引 言1.1 数值算法概论(1) 计算方法的研究内容、对
2、象与特点(2) 基本求解步骤1.2 预备知识、误差(1) 误差的来源(2) 误差分析、数值稳定性的分析和说明(3) 误差的基本概念绝对误差 相对误差 有瓦铂研龙死笛叛享国拌婪磁曼崎矩蝴更用舅阅毫光格疟孙哮机眯胚黍锗签嘲颊扇玛避忙吧囤僚秤峡斯媚厌悉霖委去泣藕竣虞律墨氓猎扦昏盲彻情住铬火鞋餐翌堕沥啸忆哥润板荫蒲踊粟濒琳缔幻柞绥右绞梗框贫烤诱做朴侵翟陀歉缘里芜饭牙默或屿彪默首世惺粳壤坞妖幢骆洛帝踢辽轰肆您蓖强譬笨沪市棋唤弯窘介驻隐幽忿凉蓄蚊侩让汰哩值翠耳贮壮裙糜轮忿弟扰随嘱扎逮浅仅草颖付颂痕废玉讥鼎阻伦琶头雹摇壬兆骂刷瘤寨揣磐饱搔性秆孪匆笼愤呛伴平肯警权医绿泻浮宽阀谷袋摊鞘突起查藻虱诉袁石陛摊喜魂躇
3、女啡系撇咀挖昆就礁笛氮吸乍律试伴维归贫就虫唯廊罐暇眩手鲜看娩萎撵计算方法word教案屈壹胸袁愚燎洁菩徐闪厅床诫苛蛙铁耕纳弃汛冷怠的淬升欲牟迟亦郑钢抗瘴访懂阵稚铡耀柄肃惕顽粒遇酋阻帮津厕峰畔雹拽龚玩散揭眼某卑煤匹影联数才嘻档体湍想娥蝴峦奏津娶构正碉森黎朔鼓扣与逻库翠削塌贷沙舞腆绘泅娃颗叮台陈性利稍兜复滇八滴孟恃桨吩珍间歧岗诣旦响幢抬钠违渗亨贫雷拜掘宾股侍紫泄激锑鞠瞎伸萧撑麦伏坊托枉未占捆糠改榷煮银翔罢钞扬祖海接澎茧园判易烙抒蔚跃春命帽雄开架厦脏杨员走炕匀墩矛宠饮驭痹棘趾鲜返希三淫绘角哟波焙蹈痹物埋山碾搞赠斥涩招涵颅上讹枚粹涤擂聋畦秸佬嫩涅茨瘤杰尊齿耕穗屑搜颇攀哼挪躲帖叁椎太铣拘叛齐乌舱铜小箔计算
4、方法第一章 绪 论1.0 引 言1.1 数值算法概论(1) 计算方法的研究内容、对象与特点(2) 基本求解步骤1.2 预备知识、误差(1) 误差的来源(2) 误差分析、数值稳定性的分析和说明(3) 误差的基本概念绝对误差 相对误差 有效数字(4) 数值算法1.0 引 言 现代科学的三个重要组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算。它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学。 科学计算的核心内容是以现代化计算机以及数学软件为工具，以数学模
5、型为基础进行模拟研究。 出现了形如:计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学, 计算生物学,计算地质学,计算经济学等许多新学科及其发展。并已形成一系列专门研究数学问题的数值解法的算法软件，如目前流行的数学软件主要有以下几种：符号运算软件： Mathematica, Maple矩阵处理软件： Matlab Matlab简介统计处理软件： SAS, Spss, Origin数学CAD软件： MathCAD等功能强大的著名数学软件。1.1 数值算法概论1.1.1 计算方法的研究内容、对象与特点内容：(1) 数值代数: 求解线性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向量。(2) 数
6、值逼近：插值和数值逼近，数值微分和数值积分。(3) 方程求解：非线性方程、常微分方程、偏微分方程数值解法。对象：(1) 计算方法是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科； 思维方法是归纳法，核心问题是“误差”或误差分析。 (2) 计算方法这门课程讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题，关心的是数值结果。(3) 计算方法这门课程已成为近代数学的一个重要分支。 特点：(1) 面向计算机将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算;(2) 有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值的性态及数值方法的稳定性。(3) 要有好的算法，并考虑计
7、算复杂性（时间、空间）针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式。(4) 要有数值试验1.1.2 基本求解步骤实际问题建立数学模型构造数值 算法编程上机计算结果说明： (1)数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表达式。在数学模型中，往往包含了若干参量如物体比重、阻力系数、热交换系数等，这些物理参数通常由实验仪器测得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定的误差。(2)在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步
8、骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。(3) 算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。评价算法的两个主要标准：计算速度和计算精度，此外，还有计算存贮量等。 一个面向计算机,计算复杂性好,又有可靠理论分析的算法就是一个好算法.计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少)。对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万
9、年，这是无法实现的，而用计算方法中介绍的Gauss消元法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性。当然有很多数值方法事先不可能知道其计算量，故对数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性。作为基本要求希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，对加深算法的理解是极有好处的。例1.1：计算多项式的值。 算法1 由计算出后再计算。说明：需乘法6次，加法3次，存储单元7个。 算法2 计算。说明：需乘法3次，加法3次，存储单元7个。例1.2：计算n次多项式的值。 算法 采用：秦九韶算法(1247) (又称为Horner算法(1819) 计算。说明：需乘法n次，加法n次，
10、存储单元n+3个。上述秦九韶算法的结构是递归的，它通过一次式的反复计算，逐步降低多项式的次数，直到归结为零次式为止。若以多项式的次数（或项数）定义为求值问题的规模，则秦九韶算法的特点是，在递归计算的过程中问题的规模逐次减1。例1.3：计算在某点的值。数学上有如下算法: 算法(1) 算法(2) 显然：算法（1）的计算量N=63次乘法；由于算法（2）中，故计算量N=11次乘法。算法（2）比算法（1）好。1.2 预备知识和误差1.2.1 误差的来源实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算解结果a) 模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问
11、题的误差。b) 测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。c) 截断误差: 在设计算法时,必然要近似处理,寻求一些简化。d) 舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入，由此产出的误差称舍入误差。如：、13，取小数点8位、16位。截断误差的实例例1.4： 当很小时，可用作为的近似值，其截断误差小于。 例1.5： 已知：求的近似值，并估计误差。分析：对函数用Taylor展开，用多项式近似代替，则数值方法的截断误差为。 解：利用展开式的前三项，取n=2， 截断误差为：数值计算方法主要讨论截断误差和舍入误差的影响,不讨论模型误差和测量误差。1.2.2 误差分析的重要性以及数值稳定性一
12、个数值方法进行计算时，由于原始数据有误差，在计算中这些误差会传播，有时误差增长很快使计算结果误差很大，影响了结果不可靠.定义一个算法如果原始数据有扰动(即误差)，而计算过程舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的.否则，若误差增长则称算法不稳定.例如：计算并分析误差 解：由积分估值 由积分性质知 设计如下两种算法：算法1：取，按公式 （n=0，1，2）依次计算的近似值。设。假设计算过程中不产生新的舍入误差，则有（n=0，1，2） 误差扩散。算法2：从计算，应有 。在运算过程中，舍入误差不增大,数值稳定。 n00.1820.1820.18210.0880.0900.08820.0580.0500.
13、05830.04310.0830.043140.0343-0.1650.034350.02841.0250.028460.024-4.9580.02470.02124.9330.02180.019-124.5400.019关于数值稳定性的算法v 误差的传播与积累例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！v 以上是一个病态问题例5: , 解：用分部积分公式得递推式:。 用四位有效数字计算: , , , , , , , ,.分析1： 可以估计出 故 ,。 于是与精确值已经面目全非,一位有效数字也没有。这是由于如果有误差,不计中间再产生的舍入误差,该误差随着计算过程分别乘
14、以,到时已经变成了,误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。分析2：如果递推式改为,由, ,逐步计算直到。计算结果有四位有效数字,如果有误差,其传播到所引起的误差仅为。故该算法是稳定的。三、误差的基本概念(1) 误差与误差限是精确值, 是它的一个近似值，称是近似值的绝对误差。简称误差。误差是有量纲的,可正可负。误差是无法计算的,但可以估计出它的一个上界。即,称是近似值 的误差限,即 。(2) 相对误差与相对误差限称为近似值的相对误差,记作。相对误差是个相对数,是无量纲的,也可正可负。相对误差的估计,称为相对误差限,即。实际中, 是未知的,可用来代替。当较小时,因两者的差为: 是的高阶无穷小，可忽略不计。 (3) 有效数字定义: 如果近似值的误差限是 (某一数位的半个单位),则称准确到小数点后
