《新编【选修1－11－24－5】：专题二 圆锥曲线与方程 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编【选修1－11－24－5】：专题二 圆锥曲线与方程 Word版含解析（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 一、题之源：课本基础知识1椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b
2、，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b23双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(02a2c)，则点P的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点的轨迹是双曲线；(2)当ac时，P点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，P点不存在4双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对
3、称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)5抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上6抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到
4、准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0 xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y07曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线8曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则
5、C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点二、题之本：思想方法技巧9直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系10直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥
6、曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.二、题之本：思想方法技巧1.在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|2a”这个条件，若|F1F2|2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|2a，则轨迹不存在.2.椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为1(m0，n0，且mn)，具体是哪种形式，由m与n的大小而定.3.求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a，b的两个方程，求参数a，b的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a，b的值.4.充分利用图形的几
7、何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中.5.直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式与零的大小关系来判定.6.直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一.7.椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r1，r2.1(ab0)，r1aex0，r2aex0；1(ab0)，r1aey0，r2a
8、ey0；焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形.r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；Sb2tanc，当b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.(4)AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则弦长l|y1y2|；直线AB的斜率kAB.以上常用结论在教材
9、的例题与习题中都有体现.8.对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点.9.双曲线的定义中，当时，动点M的轨迹是双曲线的一支，当时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”.10.定义中|F1F2|2a这个条件不可忽视，若|F1F2|2a，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若|F1F2|2a，则轨迹不存在.11.在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x2，y2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x2，y2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上.
10、12.在椭圆中，a，b，c满足a2b2c2，即a最大；在双曲线中，a，b，c满足c2a2b2，即c最大.13.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.14.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A0，B0，AB时为椭圆，当AB0时为双曲线.15.双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系方程为(0).(2)双曲线上的点P(x0，y
11、0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|，则1(a0，b0)，若点P在右支上，则r1ex0a，r2ex0a；若点P在左支上，则r1ex0a，r2ex0a.1(a0，b0)，若点P在上支上，则r1ey0a，r2ey0a；若点P在下支上，则r1ey0a，r2ey0a.16.抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握.17.求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法.若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2mx或x2ny(m0，n0).若m0，开口向右；若m0，开口向
12、左.m有两解时，则抛物线的标准方程有两个.对n0与n0，有类似的讨论.18.抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化.19.抛物线的几个常用结论(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r.y22px(p0)，rx0；y22px(p0)，rx0；x22py(p0)，ry0；x22py(p0)，ry0.(2)焦点弦：若AB为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y
13、2)，弦中点M(x0，y0)，l.则：x1x2；y1y2p2；弦长lx1x2p，因x1x22p，故当x1x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径).20.对于圆锥曲线的综合问题，要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.21.在给定的圆锥曲线f(x，y)0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点M(x，y)轨迹时，
14、一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B两点在曲线上，得f(x1，y1)0，f(x2，y2)0及x1x22m(或2x)，y1y22n(或2y)，从而求出斜率kAB，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程.22.对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组.为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决. 以“求直线l：y
