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1、最新北师大版数学精品教学资料2.4.2二次函数的性质问题导学一、二次函数的对称性和单调性活动与探究1已知函数f(x)2x24xc.(1)求该函数图像的对称轴；(2)若f(5)4，求f(3)的值迁移与应用若函数f(x)x2bxc满足f(2)f(4)(1)求f(x)图像的对称轴；(2)比较f(1)与f(5)的大小1二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数yax2bxc(a0)的对称轴为x.(2)若二次函数f(x)对任意x1，x2R都有f(x1)f(x2)，则对称轴为x.(3)若二次函数yf(x)对定义域内所有x都有f(ax)f(ax)，则对称轴为xa(a为常数)2利用对称
2、性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；(2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大二、二次函数在某区间上的最值(值域)活动与探究2已知函数f(x)x2kxk在区间2,4上具有单调性，求实数k的取值范围迁移与应用已知二次函数f(x)x22(m2)xmm2，若函数在区间2，)上为增加的，求m的取值范围(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围(2)函数在区间(a，b)上单调与函数的单调区间
3、是(a，b)的含义不同，注意区分前者只能说明(a，b)是相应单调区间的一个子集；而后者说明a，b就是增减区间的分界点，即函数在a，b两侧具有相反的单调性活动与探究3已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)用a表示出函数f(x)在区间5,5上的最值迁移与应用1函数y3x26x1，x0,3的最大值是_，最小值是_2设f(x)x24x4，xt，t1(tR)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区
4、间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大三、二次函数的实际应用问题活动与探究4某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润销售单价进货单价)(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数
5、关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？迁移与应用某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为_米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是_平方米解实际应用问题的方法步骤当堂检测1函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称，则()Am2 Bm2Cm1 Dm12函数yx2bxc在x0，)上是递增的，则()Ab0 Bb0Cb0 Db03函数f(x)2x24x1在区间1,4上的最大值与最小值分别是()A1，7 B1，17C7，17 D7，164某电子产品的利润y(元)关于产量x(件
6、)的函数解析式为y3x290x，要使利润获得最大值，则产量应为()A10件 B15件 C20件 D30件5已知函数yf(x)3x22x1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；(2)求函数的最小值；(3)已知f1，不计算函数值，求f(0)；(4)不直接计算函数值，试比较f与f的大小提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】上下低高预习交流1(1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a有关)和对称轴(与有关)(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函
7、数的对称轴处取到预习交流2提示：直线xa.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f(5)4求得c的值，确定解析式后再计算f(3)的值，也可直接利用对称性计算解：(1)由于f(x)2x24xc2(x1)2c2.所以其图像的对称轴为x1.(2)方法一：由f(5)4可得2(5)24(5)c4，于是c34，因此f(x)2x24x34.所以f(3)23243344.方法二：由于f(x)的图像关于x1对称，又5和3关于x1对称，所以f(5)f(3)，而f(5)4，故f(3)4.迁移与应用解：(1)由于f(2)f(4)，而2和4关于x1对称，所以f(x)图像
8、的对称轴是x1.(2)函数f(x)x2bxc图像的开口向上，对称轴为x1，所以离对称轴越近，函数值越小而|11|2，|51|4，所以f(1)f(5)活动与探究2思路分析：首先求出f(x)的单调区间，要使f(x)在2,4上具有单调性，须使区间2,4为f(x)单调区间的子集从而建立不等式求解k的取值范围解：f(x)x2kxk2，f(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x.要使f(x)在区间2,4上具有单调性，须2,4或2,4.即4或2，解得k8或k4.迁移与应用解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x，函数在区间2，)上是增加的，故2，解得m0.活动与探究3思路分析：(1)(2)解：(1)当
9、a1时，f(x)x22x2(x1)21.因为15,5，故当x1时，f(x)取得最小值，且f(x)minf(1)1；当x5时，f(x)取得最大值，且f(x)maxf(5)(51)2137.(2)函数f(x)x22ax2(xa)22a2的图像开口向上，对称轴为直线xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上是增加的，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a.当5a0，即0a5时，函数图像如图(1)所示由图像可得f(x)minf(a)2a2，f(x)maxf(5)2710a.当0a5，即5a0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f(x)maxf(5)2710a，f(x)
10、minf(a)2a2.当a5，即a5时，函数在区间5,5上是减少的，所以f(x)minf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.迁移与应用1102解析：y3(x1)22，该函数的图像如图所示从图像易知：f(x)maxf(3)10，f(x)minf(1)2.2解：由f(x)x24x4(x2)28，xt，t1，知对称轴为直线x2.当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减少的，g(t)f(t1)t22t7.当t2时，f(x)在t，t1上是增加的，g(t)f(t)t24t4.综上，可得g(t)活动与探究4思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销
11、售利润销售单价进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价解：(1)因为y2925x，所以yx4(0x4)(2)zy(8x8)(x4)8x224x32(0x4)(3)由(2)知，z8x224x328(x1.5)250(0x4)，故当x1.5时，zmax50.所以当销售单价为291.527.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元迁移与应用575解析：设长方形的宽为x米，则每个长方形的长为米，其中0x10.故所求居室面积Sx(303x)3(10xx2)3(x5)275(0x10)，所以当x5时，Smax75(平方米)即当宽为5米
12、时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米【当堂检测】1A解析：函数f(x)x2mx1的图像的对称轴为x，且只有一条对称轴，所以1，即m2.2A解析：函数yx2bxc的对称轴是x；要使该函数在x0，)上递增，须0，所以b0.3B解析：由于f(x)2x24x12(x1)21，图像的对称轴为x1，开口向下，所以当x1时，f(x)取最大值1，当x4时，f(x)取最小值17.4B解析：由二次函数解析式y3x290x3(x15)2675可知，当x15时，y取最大值5解：yf(x)3x22x132.(1)顶点坐标为，对称轴是直线x.(2)当x时，ymin.(3)函数图像关于直线x对称，ff.f(0)fff1.(4)ffff，而函数在上是增加的，ff，即ff.或.ff.
