《第11讲基本不等式及线性规划》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第11讲基本不等式及线性规划（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第11讲 基本不等式、线性规划及其应用考点透析基本不等式、线性规划基本不等式C线性规划A知识整合 1利用基本不等式解题时要注意“一正、二定、三相等”，创设一个使用不等式的情境，常用的技巧有：变常数、变系数，拆项2要熟悉函数的最值问题的求法一是用基本不等式求解，二是利用函数的单调性求解3线性规划实质上是“数形结合思想”的一种体现，是一种较为简捷的求最值问题的方法考点自测 1（2010山东文14）已知，且满足，则xy的最大值为 .2（2009重庆）已知，则的最小值是 3（2010重庆理7）已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 4（2010四川理7）某加工厂用某原料由甲车间加工
2、出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料_箱，乙车间加工原料_箱_典型例题 高考热点一：用基本不等式求最值例1（2010四川理12）设，求的最小值【分析】本题是均值不等式求最值的运用，要具有一定的变通能力高考热点二：基本不等式的应用题例2（2010湖北理15）设a0,b0,称为a，b的调和平均数。如
3、图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数高考热点三：不等式的证明例3设a，b，c都是正数，求证：【分析】在运用不等式证题时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”高考热点四：目标函数的最值问题例4（2010安徽理13）设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为_。【分析】目标函数在何处取得最大值；运用基本不等式求解高考热点五：线
4、性规划应用例5（2010广东理19）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？【分析】要通过审题理解题意,找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题误区分析
5、 问题：已知x，y是正数，且，求x+y的最小值试分析下面的解答错在哪里？解：x，y是正数，x+y的最小值为8随堂练习 1若xR，x0，则函数y=x+的值域是_ 2（2010安徽文15）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)； ； ； ； 3若x，则当x=_时，y=14x+有最小值_4若0a1，则的最小值是_5 （2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为_6（2010福建理8）设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于_学力测评 1若a，bR，
6、给出下列不等式：；4；其中恒成立的序号有 2设a0，b0，a，b是常数，则当x0时，函数的最小值是_. 3（2010北京理数7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是_. 4（2009番禺一模）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线的两侧，给出下列说法 时，有最小值，无最大值 ，使恒成立 当且,时, 则的取值范围为其中正确的序号是_ 5（2009北京卷理）若实数满足则的最小值为_6（2010辽宁文15）已知且，则的取值范围是 .（答案用区间表示）7（2010北京文11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式3表示的平面区域内，则m
7、= 8（2010山东文14）已知，且满足，则xy的最大值为 9(1)已知a0，b0，c0，且a+b+c=1，求证：(2)已知a2，求证：10若对任意，恒成立，求实数a的取值范围11已知xy0，且xy=1，求的最小值12如关于x的方程有解，求实数a的取值范围第11讲 基本不等式、线性规划及其应用参考答案考点自测 13； 24； 34； 415，55典型例题例1解： 0224当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时等号成立如取a,b,c满足条件.所以，的最小值是4例2解：CD DE在RtADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a，b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE
8、=，故DE的长度为a，b的调和平均数.例4解：不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，易见目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.例5解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。 可行域为 即 作出可行域如图所示： 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.54+43=22元误区分析【分析】上述解法中，连续进行的两次不等变形中的等号不能同时成立解：等号成立，当且仅当，且，也即时，x+y的最小值为9 随堂练习 1(，44，+) ； 2， 令，排除；由，命题正确；，命题正确；，命题正确。； 31，2； 49 ；5=3；6 _4解：【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为学力测评 1； 2； 3(1,3 ； 4； 5； 6； 7-3； 83；9解：(1)略(2)a2，log(a1)0，log(a+1)0，log(a1)log(a+1)= 10解：因为，所以，所以有，即的最大值为，故11解：，xy0，xy=1，xy+2当且仅当xy=时成立，此时x=，y= 12解：由已知 4
