排列组合常见题型及解答

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1、排列组合常见题型一可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”能重复的元素看作“店”则通过“住店法”可顺利解 题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不 同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）34（2） 43 （3）43【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分

2、6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共 有76种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、83b、38c、A83D、C38【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把 8名学生看作8家“店”，3 项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共 有83种不同的结果。所以选A二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与 排列.【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那

3、么不同的排法种数有【解析】把A,B视为一人，且B固定在A的右边，贝怵题相当于4人的全排列，A4 = 24种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，贝不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188 C. 216 D. 96解析】： 间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，CtAlA2Al=432，其中男生甲站两端的有A2e2A2A2Al=144，符合条件的排法故共有288三.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几

4、个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为今种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法数是A5 A2 = 360056例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 不同的插法（数字作答）【解析】: A17A18A19=504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，贝不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为A5=3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工

5、程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有=20种不同排法。例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目， 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变则该晚会的节目单的编排总数为 种.解析】：A1 A1 A1 =9909 10 11【例6】.马路上有编号为1, 2, 3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻 的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：

6、把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方 法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装 盒模型可使问题容易解决.【例7】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少 种？【解析】：解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3 ,O*O*O*O，在四个 空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 4种，所以每个人左右两边都空位的排法 有 A4A3 =24 种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*O*O*O*O*再让3个 人每人带一把椅子去

7、插空，于是有A4 =24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起， 不同的停车方法有几种？【解析】：先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端 的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C9种方法，所以共有C9A8种方法.注：题中*表示元素，O表示空.四.元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素;再排其它的元素。【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派 四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项 工作，其余三人均

8、能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （）A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。A2AT36方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2C2A3二24 ；若小张、小赵都入选，则有 选法A2 A3?二12，共有选法36种，选A.【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有 多少种？【解析】：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法； 所以共有A3 A4= 72【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？解析】 法一：Ai A6 = 3

9、60056法二：A2 A5 = 360065法三 A7 - A6 A6 = 3600766五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为(A)A155 A150(B) A5 A5 A5A3(C) A15(D) A5 A5 A5 宁 A315 10531515 1053（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析

10、】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6 二720 种，选 C.（2）答案：C（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半 段的四个位置中选一个有A4种,其余5个元素任排5个位置上有A5种,故共有A4令A5二5760 种排法.六定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可 用缩小倍数的方法.【例1】.A，BC，D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（B可以不相邻）那 么不同的排法种数【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只-A5 二 60是5个元素全排列数的

11、一半，即2 5 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不 同的插法？A 9【解析】 ：法一： A93法二： A66 9【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？【解析】：法A36法二：A66六.标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入, 第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6

12、种B、9种C、11 种 D、23 种解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数 字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3X3X1=9种填法，选b .【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其 中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A 10种 B 20种C 30种D 60种 答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有（ ）（A） 6 种 （B）9 种 （C）11 种 （D）23 种【解析】设四

13、个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有3 x（1 + 2） = 9种分配方式。故选（B）【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有（ ）（A） 60 种 （B） 44 种 （C） 36 种 （D） 24 种答案：B七不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按下

14、列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？分成1本、2本、3本三组； 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；分成每组都是2本的三个组； 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；分给5人每人至少1本。解析】：(1)C6iC52C33 (2)C6iC52C33A33C2C2C264_2-3)A33(4) C62C 42C225）C2CiCiCiCiCi55432 AA454则不同的分配方案有例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名， 种（数字作答）42A22C2CiCi421解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有 第二步将分好的三组分配到 3

15、个乡镇，其分法有 A33 所以满足条件得分配的方案有C2 - C - C421 - A3 = 36A232说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有(A) 150 种(B)180 种(C)200 种(D)280 种C3CiCi52 4 X A3A23 =60 种,A70B140C280D840答案 ：（ A ）解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有CiC2C2542 X A3若是1,1,3,则有 A；3 =90种，所以共有150种，选A例4】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2