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1、细心整理二项式定理典型例题-典型例题一例1 在二项式的绽开式中，前三项的系数成等差数列，求绽开式中全部有理项分析：此题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：二项式的绽开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由确定：，通项公式为为有理项，故是4的倍数，依次得到有理项为说明：此题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项类似地，的绽开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为典型例题四例4 1求绽开式中的系数；2求绽开式中的常数项分析：此题的两小题都不是二项式绽开，但可以转化为二项式绽开的问题，1可以视为两个二项绽
2、开式相乘；2可以经过代数式变形转化为二项式解：1绽开式中的可以看成以下几种方式得到，然后合并同类项：用绽开式中的常数项乘以绽开式中的项，可以得到；用绽开式中的一次项乘以绽开式中的项可得到；用中的乘以绽开式中的可得到；用 中的项乘以绽开式中的项可得到，合并同类项得项为：2由绽开式的通项公式，可得绽开式的常数项为说明：问题2中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项式绽开的问题来解决典型例题五例5 求绽开式中的系数分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式绽开解：方法一： 其中含的项为含项的系数为6方法二：其中含的项为项的系数为6方法3：此题还可通过把看成6个相
3、乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，项可由以下几种可能得到5个因式中取x，一个取1得到3个因式中取x，一个取，两个取1得到1个因式中取x，两个取，三个取1得到合并同类项为，项的系数为6典型例题六例6 求证：1；2分析：二项式系数的性质事实上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变更的等数固定下来，从而运用二项式系数性质解：1左边 右边2左边 右边说明：此题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子可以干脆作为某个二项式的绽开式，但这须要逆用二
4、项式定理才能完成，所以需细致视察，我们可以看下面的例子：求的结果细致视察可以发觉该组合数的式与的绽开式接近，但要留意： 从而可以得到：典型例题七例7 利用二项式定理证明：是64的倍数分析：64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其绽开后各项含有，与的倍数联系起来解：是64的倍数说明：利用此题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些困难的指数式除以一个数的余数典型例题八例8绽开分析1：用二项式定理绽开式解法1：分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理绽开解法2：说明：记准、记熟二项式的绽开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较困
5、难的二项式，有时先化简再绽开会更简便典型例题九例9假设将绽开为多项式，经过合并同类项后它的项数为A11B33C55D66分析：看作二项式绽开解：我们把看成，按二项式绽开，共有“项”，即这时，由于“和”中各项的指数各不一样，因此再将各个二项式绽开，不同的乘积绽开后，都不会出现同类项下面，再分别考虑每一个乘积其中每一个乘积绽开后的项数由确定，而且各项中和的指数都不一样，也不会出现同类项故原式绽开后的总项数为，应选D典型例题十例10假设的绽开式的常数项为，求分析：题中，当时，把三项式转化为；当时，同理然后写出通项，令含的幂指数为零，进而解出解：当时，其通项为，令，得，绽开式的常数项为；当时，同理可得
6、，绽开式的常数项为无论哪一种状况，常数项均为令，以，逐个代入，得典型例题十一例11的绽开式的第3项小于第4项，那么的取值范围是_分析：首先运用通项公式写出绽开式的第3项和第4项，再依据题设列出不等式即可解：使有意义，必需；依题意，有，即解得的取值范围是应填：典型例题十二例12确定的绽开式中有连续三项的系数之比为，这三项是第几项？假设绽开式的倒数其次项为，求的值解：设连续三项是第、项且，那么有，即，所求连续三项为第、三项又由确定，即两边取以为底的对数，或说明：当题目中确定二项绽开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，依据确定条件列出某些等式或不等式进展求解典型例题十三例13的绽开式中
7、第项与第项的系数相等，求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析：依据确定条件可求出，再依据的奇偶性；确定二项式系数最大的项解：，依题意有的绽开式中，二项式系数最大的项为设第项系数最大，那么有或系娄最大的项为：，说明：(1)求二项式系数最大的项，依据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需依据各项系数的正、负变更状况，一般接受列不等式，解不等式的方法求得典型例题十四例14设()，假设其绽开式中关于的一次项的系数和为，问为何值时，含项的系数取最小值？并求这个最小值分析：依据确定条件得到的系
8、数关于的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题解：，或，或时，项系数最小，最小值为说明：二次函数的对称轴方程为，即，由于、距等距离，且对，、距最近，所以的最小值在或处取得典型例题十五例15假设，求(1) ；(2) ；(3) 解：(1)令，那么，令，那么(2)令，那么由得：(3)由得：说明：1本解法依据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式(2)一般地，对于多项式，的各项的系数和为：的奇数项的系数和为的偶数项的系数和为典型例题十六例16填空：(1) 除以的余数_；(2) 除以的余数是_.分析(1)：将分解成含的因数，然后用二项式定理绽开，不含的项就是余数解：又余
9、数不能为负数，需转化为正数除以的余数为应填：分析(2)：将写成，然后利用二项式定理绽开解：简洁看出该式只有不能被整除，因此除以的余数，即除以的余数，故余数为应填：典型例题十七例17求证：对于，证明：绽开式的通项绽开式的通项由二项式绽开式的通项明显看出，所以说明：此题的两个二项式中的两项为正项，且有一项一样，证明时，依据题设特点，接受比拟通项大小的方法完成此题证明典型例题十八例18在的绽开式中的系数为A160B240C360D800分析：此题考察二项式定理的通项公式的运用应想方法将三项式转化为二项式求解解法1：由，得再一次运用通项公式得，这里，令，即所以，由此得到的系数为解法2：由，知的绽开式中
10、的系数为，常数项为，的绽开式中的系数为，常数项为因此原式中的系数为解法3：将看作个三项式相乘，绽开式中的系数就是从其中一个三项式中取的系数，从另外个三项式中取常数项相乘所得的积，即应选B典型例题十九例19确定的绽开式中的系数为，常数的值为_分析：利用二项式的通项公式解：在的绽开式中，通项公式为依据题设，所以代入通项公式，得依据题意，所以应填：典型例题二十例20(1)求证：(2)假设，求的值分析：(1)留意视察的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明(2)留意到，再用赋值法求之解：(1)在公式中令，即有等式得证(2)在绽开式中，令，得；令，得原式说明：留意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模
11、式是，在某二项绽开式，如或中，对随意的该式恒成立，那么对中的特殊值，该工也必需成立特殊值如何选取，没有一成不变的规律，需视具体状况而定，其灵敏性较强一般取较多一般地，多项式的各项系数和为，奇数项系数和为，偶次项系数和为二项式系数的性质及的证明就是赋值法应用的范例典型例题二十一例21假设，求证明：能被整除分析：考虑先将拆成与的倍数有关的和式，再用二项式定理绽开解：，均为自然数，上式各项均为的整数倍原式能被整除说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再绽开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷典型例题二十二例22确定的绽开式各项系数和比
12、它的二项式系数和大(1)求绽开式中二项式系数最大的项；(2)求绽开式中系数最大的项分析：先由条件列方程求出(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定解：令得绽开式的各项系数之和为，而绽开式的二项式系数的和为，有(1)，故绽开式共有，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项，(2)设绽开式中第项的系数最大，故有即解得，即绽开式中第项的系数最大说明：绽开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同前者用二项式系数的性质干脆得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个，这时还必需算出相应项的系数后再比拟大小典型例题二十三例23求证：(1) ；(2) (，)分析：
13、(1)留意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路(2)同上构造函数，赋值证明：(1)(法1)，此式左右两边绽开式中的系数必相等左边的系数是，右边的系数是，等式成立(法2)设想有下面一个问题：要从个不同元素中取出个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法一种解法是明显的，即干脆由组合数公式可得出结论：有种不同取法其次种解法，可将个元素分成两组，第一组有个元素，其次组有个元素，那么从个元素中取出个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成类：从第一组取个，其次组不取，有种取法；从第一组取个，从其次组取个，有种取法，第一组不取，从其次组取个因此取法总数是而该问题的这两种解法答案应是一样的，故有(2)为偶数，；两式相加得，说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组
