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1、1. 排列、组合（一）排列、组合问题1. （均匀分组问题）15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班级中.（1）每班级各分配一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配到同一班级的概率是多少？（3）甲班至少分到一名优秀生的概率是多少？2. （放回、不放回问题）袋中有5个红球、6个白球、8个黄球，随机抽3次，每次抽1个，颜色相同的事件记为事件，颜色互不相同的事件记为事件，在下列两种情况下，求事件和事件的概率：（1）抽后不放回；（2）抽后放回.3. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有_种. 204. 某小区有
2、排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为_ 245. 学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有_种6. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的种数为_ 487. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定，技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数为_328. 思考：（转化与化归思想）连接正方体8个顶点的直线中，成异面直线有多少对？解：一个三棱锥可确定3对异面直线，故问题可转化
3、成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥？对9. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这六枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红旗子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同排列方式共有_种. 9010. （斯坦福数学竞赛）30（二）排列、组合的证明1. 把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数，设表示位于这个数表中从上往下数第行，从左往右第个数() 若，求和的值；() 记，求证：当时，解：() 因为数表中前行共有个数，则第行的第一个数是，所以，2分因为，则，即令，则5分() 因为，则，所以 8分当时，10分2. 设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，（1）证明
4、：当，时，；（2）记，求的值解：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，=当为奇数时，成立 同理可证，当为偶数时， 也成立 （2）由，得= 又由，得，所以， 2. 随机变量及其概率分布1. 某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，统计结果如下表：作品数量 实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1605分00113() 求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；() 若“实用性”得分的数学期望为，求、的值解：()从表中可以看出
5、，“创新性为4分且实用性为分”的作品数量为6件，“创新性为4分且实用性为3分”的概率为 ()由表可知“实用性”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，b4件，15件，15件，a8件 “实用性”得分的分布列为：P“实用性”得分的数学期望为， 作品数量共有件，解得， 2. 设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，= 0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积（1）求概率P（= 0）；（2）求的分布列，并求其数学期望E ()变式1：如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,
6、2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）（1）求V=0的概率；（2）求V的分布列及数学期望.变式2：（2012年江苏高考22题）设为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，.（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望.（1）考虑到图形的对称性，不妨先取定第一条，然后再考虑其他的边，故；（2）的可能取值为，其中；则思考：（转化与化归思想）
7、连接正方体8个顶点的直线中，成异面直线有多少对？解：一个三棱锥可确定3对异面直线，故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥？对变式3：从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离 （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望E()【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条因此 3分（2）随机变量的取值共有1，三种情况正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是5分从而 7分所以随机变量的分布列是1P()8分因此 10分3. （南京市、盐城市2013届高三期末）某射
8、击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为, 乙的命中率为, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.（1）若, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为, 如果, 求的取值范围.解: (1)可得 (2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为,而,所以,由,知,解得评注：关键是辨识概型4. 设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取三个整点，求这些整点
9、中恰有2个整点在区域内的概率；（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望解答：（1）古典概型，解答为（2）几何概型服从于伯努利分布，求得分布列和数学期望5.（2013年复旦大学自主招生试题）某大楼共5层，4个人从第一层上楼梯，假设每个人等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否是相互独立的，又知电梯只在有人下时才停止.（1）求某乘客在第层下电梯的概率；（）；（2）求电梯在第层停下的概率；（3）求电梯停下的次数的数学期望；解析：（1）；（2）；（3）的可能取值为；;；所以6.（2013年通州区热点难点检测）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2
10、个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：求摸出3个白球的概率；求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为：求的分布列；求的数学期望解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件 -2分 -5分（2）的分布列为012-8分的数学期望 -10分【或：，】7.（分类讨论思想在概率问题中的应用）甲，乙两队各有3名队员，投篮比赛时，每个队员各投一次，命中率均为，（1）设前n（n=1，2，3，4，5，6）个人的进球总数与n之比为an，求满足条件a6=，且a
11、n（n=1，2，3，4，5）的概率；（2）设甲，乙两队进球数分别为i，j（i，j0，1，2，3），记=|ij|，求随机变量的分布列和数学期望（1）a6=，即6个人投篮进了3个球，又an（n=1，2，3，4，5），则有两种情况：第一，第1人投篮没投进，第2人投篮投进了，第3人投篮没投进，第4、5人总共投进了1个球，第6人投篮投进了，其概率为P1=C（）2=；第二，第1人投篮没投进，第2人投篮没投进，第3、4、5人总共投进了2个球，第6人投篮投进了，其概率为P2=C（）3=.从而，所求概率为P=P1+P2=（2）P（=0）表示两队进球数相同，即有P（=0）=（）3（）3+C（）3C（）3+C（）3
12、C（）3+（）3（）3=P（=1）=2（）3C（）3+C（）3C（）3+C（）3（）3=P（=2）=2（）3C（）3+C（）3（）3=P（=3）=2（）3（）3=E=0+1+2+3=8.（2011安徽理科高考题）（化归转化突破重难点）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派
13、出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数学期望）；（）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为X123P所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于的任意排列，都有（*）事实上，即（*）成立.（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为
