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1、定积分部分一、第一积分中值定理【定理】：设f(x)、g(x)在a,b上连续，g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点& g (a,b),使 得Ibf 3)g3)dx = f (&)fbg(x)dx。注意取g(x)=1即可以得到我们熟悉的积分中值定理。aa【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。二、一种含变量X的积分上限函数的求导公式f xf (t) g (x) dt y = g(x) f xf (t) dt + g (x) f (x)aa三、函数和原函数之间的关系1、周期函数的原函数不一定是周期函数【举例】：y=cosx+1的原函数是y=sinx+x，不是周期函数。【推论】周期奇函数的原函数一
2、定是周期函数。(证明略)。四、几个重要的广义积分结论1、f+8 e -pxdx = (p 0)0p2、2、奇函数的原函数组(即不定积分C取任何值)都是偶函数，但偶函数的原函数组中只有 一个是奇函数。f *8 e - px sin wxdx = W （p0； w0）0p 2 + W22、f+M e-x2dx = U v 1024、I（ln x） ndx = （-1） n!0五、周期函数的定积分技巧(可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题) 设周期函数周期为T，周期函数为f(x)有：1、fa+T f (x)dx = Tf (x)dx (周期函数任意一个周期内的积分是不变的)a02、fnT f
3、(x)dx = nfTf (x)dx (n 是正整数)3、设f (x)是以周期T为周期的周期函数，则它的积分上限函数F(x)=fxf (t)dt也是以Ta为周期的周期函数的充要条件是：ff (x)dx = 0 (即函数在一个周期长上的定积分为0) 0六、一个非常OP的定积分变换等式(处理一些复杂问题时常用)定理：fb f (x)dx = fb f (a + b - x)dxaa几何解释：曲线y=f(x)和y=f(a+b-x)关于直线- 对称。七、一个定积分计算体积的公式f (x)在a,b上与x轴围成的曲边梯形(f(x)=0)绕y轴旋转一周的体积公式：V=2兀bxf(x)dx (证明方法略) a
4、多元函数微积分部分一、二次极限和二重极限【定理】二重极限大家都知道，就是二元函数的极限。这里不介绍。二次极限的定义我们也 不介绍没必要了解，只要知道二次极限的计算方法和它与二重极限的关系：二次极限的计算方法：求函数f(x,y)在点(x0,y0)处的二次极限，则先将y固定，即求： lim f (x, y) = g(y)，再求lim g(y)，这样得到的答案为二次极限。xfyf注意二次极限有两个值，一个是先x再y得到的lim lim f (x, y) = A，另一种是先y再x得I x0 y0到的lim lim f (x, y) = B。现在再设二重极限lim f (x, y) = C，现在叙述它们
5、的关系： y0 I x01 x0 y01、如果A、B都存在且A,B，二重极限C不存在。(常用定理)2、如果C存在且A、B中至少有一个存在，则二重极限C=(A、B中存在的那一个)。3、如果A、B、C均存在，则A、B、C均相等。4、如果A、B存在，但C存在与否并不知道，那么即使A=B，也不能判断C存在。【注】引入这个二次极限的处理是因为咱们书上的二重极限求解方法经常涉及到放缩，放缩 需要比较高的思维水平，难度较大。而二次极限的方法要简单一点，处理起来要快。二、多元函数几个概念之间的层次关系有极限 ，连续J 可微偏导数连续可偏导【注】：箭头都是单向的。没有箭头的两个概念之间，除了上层推下层以外，无相
6、关关系。 例如可偏导和有极限之间并没有必然关系。无穷级数部分一、数列中的斯托尔茨定理【定理】设数列yn单调递增，且limy =+，ns则当limy存在或为8时，有:* x - yn-1n-1lim % = limns ynn* x一 yn - 1n - 1【推论】x f = limx （数列前n项算术平均值的极限=数列ns2、若limx存在且xn 0n nT8Xn = x （正项数列前n项的几何平均值的极1、若lim x存在，则lim气+气+ n nsns的极限）限=数列的极限）3、若lim二1存在且x、 xns Jnx 0，贝g lim n；x = limri nsn ns xn【注】斯托尔
7、茨定理可以用来计算一些难度较大的无穷级数的极限。二、p级数和交错p级数的收敛情况【注】：p级数和交错p级数常用在无穷级数问题处理之中，故在此做出分析：1、p级数【公式】： 【收敛情况】：当pi时收敛，当p1时绝对收敛；当0p=1时条件收敛；当p=0时发散。【注】：交错调和级数（-1）T党1 = ln2 1 nn = 1三、积分审敛法【定理】设函数f（x）在1,+8）上非负且连续，则正项级数 f （n）与广义积分f （x ）dx有 n=11相同的敛散性。【注】由于函数的定积分比数列的和更容易去求，所以积分审敛法适用于不太好处理又不能 求和后审敛的无穷级数的敛散性判断。四、正项级数里面常用的几个不
8、等式关系（用来判断敛散性）【注】：下列级数都默认为正项级数。1、Ju v u + v2、3、u件vn(u2+ vu 2 + n v 2 k n J n n (权方和不等式推导) a 2b2a + b五、判断一个任意级数收敛的步骤总结六、三个常用p级数的和1、u 1 n 2 n=1兀262、芝（-1J一 n 2 n=1兀212工a xn绝对收敛。nn=02、若Eaxn发散n0且 I x I I x0I，a xn也发散。3、E- = lnn + C（C=0.5772，C叫做欧拉常数，为无穷不循环小数） n n=1七、幕级数中的阿贝尔定理1、若 E a x n 收敛，且 I x 11 x I， n
9、00n =0n=0n=0【注】：这个定理是告诉我们，对于一个慕级数，比收敛的点更接近原点的点，也是收敛点。 比发散的点更远离原点的点，也是发散点。这个定理可以用来快速判断一些点的敛散性。八、缺项的幂级数的收敛半径的确定方法【定理】若慕级数缺项，即成如下形式：Ea xmn+k（m是正整数，化是非负整数），则先nn=081n1求E axn的收敛半径一，则此时可以得到E axmn+k的收敛半径为亍。 n =0n=0% P九、幕级数求和以及函数展开成幕级数中的几个常用级数和技巧1、（1）先积分再求导（2）先求导再积分/rjJITJ ,0=ln( 1 - _r)麦克劳林级散形式谱合瓶图T点-X + 8s
10、iru: 工一言十导一片十如1尸切*U|-+ 3寺+S书十k切-。,高QCJ + O0bi(l + i)= S Di予1K1二咨_1X1= 1 - I + J3 - J7J+ 七寮一 g-1X1(1 + _r)#u 1 * 心 + 区；1)蛆 + 编点工=H的收散 性取快于财arclwu =专 *项= WT)赤W-liClarcstrw = j + 十，% + 抒 ,芸位丁 一以! j?1一 五（g!-W Jt + M血=土苛7*为+务一 8 上o)dr + j Q( Ji y)dy 三 C.也可以写成：一【注】：如果没有指明x和y的范围，则认为表达式中(x0,y0)=(0,0)，即从原点出发
11、。(由于涉及到高等数学中的曲线积分的知识，这里不去叙述x0,y0是什么意思)所以对于一般情况下，只要没给定x,y的取值范围，其通解就可以进一步写成：jx P (x,0)dx + j yQ (x, y )dy = C00全微分方程(恰当方程)在处理一些比较复杂的微分方程中有奇效，举个例题：【题】：求该微分方程的通解：(x2 y)dx - (x - y)dy = 0OQ OP 一一.、一解：令p(x, y) = x2-y, Q(x, y) = -(x-y)，则云=否一1(判断是全微分方程的充要条件，就是两个偏导数相等)见该方程是全微分方程，于是有u (x, y) = j(x, y)(x2 - y)dx - (x - y)dy = jx x2dx + jy - (x - y)dy = - xy + (0,0)0032所以原方程通解为:x 3y 2-xy + =c32作者：稀饭
