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1、第三讲 支出最小化复习第 2 讲，消费者最优化2.1 预算2.2 偏好2.3 效用2.4 选择消费者最优买得到的组合中选择最好的一个。2.0 一个模型（第五章附录）2.1预算：买得到的组合预算可行集稀缺性 预算线的斜率机会成本。2.2 偏好：如何对可能消费的组合排序呢偏好 无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排 除了非理性的排序2.3 效用：更简便的排序是用效用函数效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边 际替代率是无差异曲线的斜率边际支付意愿或保留价格2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合 最优化模型的解满足相切条件，就是对商品 1 的 边际支付意愿等于其机会成本。但是并非满足
2、相切条件的解是最优解。偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的 此时满足一阶相切条件的解是最优解。2.5 理性人、自利人、经济人2.6一个例子，对于消费者，总额税比从量税好。第 3 讲：效用最大化与支出最小化(补充) 3.1 效用最大化 3.2 支出最小化3.3 效用最大化与支出最小化：对偶关系3.1 效用最大化MaxU = U(x , x )12S .t.Px + Px = M1 1 2 2 L = U (x , x ) X (P x + P x M)1 2 1 1 2 2L =6U / 6x XP = 0(1)x111L =6U / 6x XP = 0(2)x222L = M Px
3、 Px = 0(3)xX1 1 2 2x* = x (P, P , M), x* = x (P, P , M)1 1 1 2 2 2 1 2 这是马歇尔需求函数例子 0：第六版，第五章附录， ， U=x1cx2d 求马歇尔需求函数。例子1：U(x ,x )= x1/2x1/21 2 1 2 x* = (1/ 2)(m / P ), x* = (1/ 2)(m / P )1 1 2 2如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。即马歇尔需求函数是零次齐次函数x (tP, tP , tM)二 10x (P, P , M)二 x (P, P , M)1 1 2 1 1 2 1 1 2把马歇尔需求函数x
4、：=例子2：(1/ 2)(m / P), x * = (1/ 2)(m / P)1 2 2代入U(x打)=x1/2x1/212得到最大的效用U* = (1/2)P严P1/2mV = U* = V(P, P , m) = (1/2)P-1/2P-1/2m1 2 1 2我 们 把 V =V(P1,P2,m) 称 为 间 接 效 用 函 数 ， 把 U =U(x1, x2 )称为直接效用函数。间接效用函数相当 于说，只要知道收入和价格，就知道相应的最大效用。 那么如果价格或收入发生变化，很容易得知导致效用 的变化。例子3总额税与从量税： U(x ,x ) = x1/2x1/21 2 1 2V = (
5、1/ 2)P-1/2P-1/2m12m = 8, P = 1, P = 4, V = ?, x = ?1 2 1m = & P +1 = 2, P = 4, V = ?, x = ?税收 tx = ?1 2 1 1m =8-tx , P =1, P = 4,V =?,x =?1 1 2 1画图比较征收等额的商品税与所得税的影响 第五章最后一个图第六版p69从量税：价格提高，匕+t) x1+P2 x2=m,政府税收tx:所得税：收入降低， Px + Px = m一tx*, 政府1 1 2 2 1税收tx:对于单个消费者来说，征收相同税额，所得税 优于从量税。但是如果单个消费者不消费征税商品，那么
6、他 偏好从量税而不是所得税。例子4：U (x , x ) = Xl/2Xl/21 2 1 2V = (1/2) P-1/2 P-1/2 ml2-(dV / dP )/(dV / dm) = ?1补充：包络定理值函数对参数的微分直接等于原函数对参数的微分。V =U: =Ux:(P,P ,M),x:(P,P,M)1 1 2 2 1 2=V(P,P ,m)值函数；12MaxL = U(x ,x )-九(Px + Px -M)约束条件最大化的原函数;1 2 1 1 2 26V / dP =dL / dP =-九 x ;1 1 1av /叫 是说，如果价格变化1单位，效用会变化多 少？如果在某一价格下，
7、最优的商品购买量是二，那 么如果此时价格下降 1单位，相当于每单位商品可以少花1单位，收入总共多出了 x1 单位；每单位货币的效用为几。于是，很直观的是，价格下降1单位，收 则相反。入增加xi单位，效用增加了i X1单位。如果价格上涨dV/dP =6L/dP 二-心2 2 2dV / dm dL / dm 九-(dV / dP )/(dV / dm) x * (1/2)( m / P),111-(dV/dP)/(dV/dm) x* (1/2)(m/P)222我们把-(dV / dP )/(dV / dm) x* (P, P , M)称为罗伊i i 1 2恒等式。利用该等式，知道间接效用函数，可
8、直接得 到马歇尔需求函数。3.2 支出最小化Mine = Px + P x1 1 2 2 S.t.U(x ,x ) =U12L = Px + Px -0(U(x ,x )-U)1 1 2 2 1 2L = P -0dU / dx = 0(1)x11 1L = P -0dU /dx = 0(2)x222L = U (x , x ) - U = 0(3)0 1 2x* = xh (P , P , U), x* = xh (P, P , U);11 1 22 2 1 2叫希克斯需求函数，区别于马歇尔需求函数满足 MU / P = MU / P = 1/o 或MU / MU = P / P1 1 2
9、2 1 2 1 2例子：求U=x12x1/2的希克斯需求函数画图，区别效用最大化模型与支出最小化模型把 xh( P，P2，u), xh( P，P2，u)代入最小支出:e* = Pxh (P, P , U) + Pxh (P, P , U)1 1 1 2 2 2 1 2e* = e(P1, P2,U )被称为支出函数，它告诉在既定价格 条件下为了实现某一效用所需要的最小支出。例子5：求U(x ,x ) = x1/2x1/2的支出函数1 2 1 2 根据支出最小化模型得到：Xh = P-1/2P1/2U, Xh = Pl/2P-1/2U,1 1 2 2 1 2e = PP-1/2 P1/2U +
10、P P1/2 P-1/2U = 2 P1/2 P1/2U1 1 2 2 1 2 1 2如果U1, P = 4, e = ? X1=?1 2 1征税 U = 2, P +1 = 2, P = 4, e = ? X =?1 2 1必须至少补贴多少钱，消费者才不会反对征税? 画图表示 例子6：迢P, P ,U)/6P = ?1 2 16e(P,P ,U)/6U = ?12根据包络定理6e(P,P ,U)/OP =6L/6P = x* = xh(P,P ,U),1 2 1 1 1 1 1 2Oe(P,P ,U)/OP =OL/OP = x*= xh(P,P ,U),1 2 2 2 1 2 1 2 这叫
11、谢泼德引理。Oe(P,P ,U)/OP = xh1 2 1 1Oe / OP是说，如果价格变化1单位，保持效用相同，最小支出会变化多少?很直观的是，如果在某一价格 如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品少花1单 位货币，共节省xf单位支出就可以达到原来的U。如 果价格上涨则相反。下，达到某一效用支出最小的商品购买量是xf，那么l=J|=|de(P,P ,U)/dU = dL/dU =0 = 1/九123.3 效用最大化与支出最小化：比较例子：v = V(P,P,m)与e = e(P,P,U)互为反函数1 2 1 2V = V(P, P , m) = (1/2)P-1/2P-1/2m1 2 1 2e=e(P,P,U)=2P1/2P1/2U1 2 1 2画图：四个恒等式：e = e(P, P , V (P, P , m) = m1 2 1 2V (P, P , e(P, P , U) = U1 2 1 2x (P, P , M) = xh (P, P , V (P, P , m)i 1 2 i 1 2 1 2xh (P, P , U) = x (P, P , e(P, P , U)i 1 2 i 1 2 1 2希克斯需求不可观察，但是马歇尔需求是可以观察的 画图：马歇尔需求函数，希克斯需求函数，边际替代率
