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1、高考数学精品复习资料 2019.5第五节椭圆考纲传真1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用(对应学生用书第120页) 基础知识填充1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.若ac，则集合P为椭圆；若ac，则集合P为线段；若ac，则集合P为空集2椭
2、圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2知识拓展1点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.2焦点三角形椭圆1(ab0)上一点P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2
3、中，若F1PF2，则SF1PF2|PF1|PF2|sin b2b2tan 3过焦点垂直于长轴的弦长椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A1B1C
4、1D1D椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.3(20xx广东高考)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3 C4D9B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.4(20xx全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()AB CDB如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即bca，所以e.5椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_3直线xm过右焦点(1,0)时，
5、FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a8，即a2，此时，|AB|23，SFAB233.(对应学生用书第121页)椭圆的定义与标准方程 (1)如图851所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()图851A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_. 【导学号：00090290】(3)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n
6、0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1.(3)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，则F1(c,0)，F2(c,0)AF2x轴，则A(c，b2)(其中c21b2,0b|F1F2|这一条件(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|的整体代换2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)的形式变式训练1
7、(1)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260，SPF1F23，则b_.(3)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为_. 【导学号：00090291】(1)1(2)3(3)1(1)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹
8、方程为1.(2)由题意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3.(3)依题意，设椭圆C：1(ab0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3，点A必在椭圆上，1.又由c1，得1b2a2.由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为1.椭圆的几何性质(1)(20xx泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦
9、距为4，则m等于()A8B7C6D5(2)(20xx江苏高考)如图852，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是 _.图852(1)A(2)(1)椭圆1的长轴在x轴上，解得6m10.焦距为4，c2m210m4，解得m8.(2)将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C.又因为F(c,0)，所以，.因为BFC90，所以0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍去)规律方法1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析2求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，
10、c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解 变式训练2(1)已知椭圆1的离心率为，则k的值为()A21B21C或21D或21(2)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()【导学号：00090292】A BCD(3)(20xx全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A BCD (1)D(2)B(3)A(1)当94k0，即5k4时，a3，
11、c29(4k)5k，解得k.当94k，即k5时，a，c2k5，解得k21，所以k的值为或21.(2)由题意，可设P.因为在RtPF1F2中，|PF1|，|F1F2|2c，F1PF260，所以.又因为b2a2c2，所以c22aca20，即e22e0，解得e或e，又因为e(0,1)，所以e.(3)由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为A又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A直线与椭圆的位置关系角度1由位置关系研究椭圆的方程与性质已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为.图853(1)求椭圆E的离心率；(2)如图853，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，3分由dc，得a2b2 ，解得离心率.5分(2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k
