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1、陕西省西安中学2019届高三第二次模拟数学（理）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第I卷（非选择题 共90分）1若集合，则等于A BCD2. 已知复数，则在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出n=A4 B. 5 C.9 D. 104. 已知数列是公差不为0的等差数列，是其前n项和，且是和的等比中项，若 ，则正整数k= A.20 B.21 C. 191 D.1905.已知的展开式中常数项为a，则= A. 1 B.-2 C. D.6已知圆：，在圆
2、周上随机取一点P，则P到直线的距离大于的概率为A. B. C. D.7. 函数的图像向右平移单位长度，再向下平移3个单位长度，得到函数，若存在，使得成立，则的最小值是 A. 3 B.1 C. D.28. 已知分别为双曲线的上下焦点，动点在双曲线的上支，则最小值为 A12 B 18 C20 D 249设直线与关于的不等式组所表示的平面区域有公共点，则的取值范围为 A B C D 10菱形ABCD的对角线相交于点O，其中，P是内（包括边界）一动点，则的取值范围是 A B C D11.函数定义在有序正整数对的集合上,且满足下列性质:（1）；（2）;（3）则的值是.A24 B48 C 64 D9612
3、.已知函数，=，若至少存在一个1，e，使成立，则实数的范围为 A1，+) B(0，+) C0，+) D(1，+) 第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)13. 为了了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下数据：男性接受挑战的有24人，不接受挑战的有31人；女性接受挑战的有8人，不接受挑战的的有26人在犯错误的概率不超过 （用百分数作答）的前提下，认为冰桶挑战赛与受邀者的性别 （填有关或无关）。附： 14. 照此规律，则 .15. 已知点为椭圆C的左焦点，A，B是椭圆上的两点，坐标原点O与A,B共线且
4、是线段AB的中点，则椭圆的离心率是 16球的表面上有三点，过，和球心O作截面，截面圆中劣弧长，已知该球的半径为，则球心到平面的距离为 三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（本小题满分12分）如图,一船在海上由西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东角,前进4 km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁,现该船继续东行.（1）若问该船有无触礁危险?如果没有,请说明理由;如果有,那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险?（2）当与满足什么条件时,该船没有触礁危险? (得到含有的表达式即可) 18. （本小题满分
5、12分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年12月某时刻实时监测到的数据： 西部城市AQI数值东部城市AQI数值西安108北京104西宁92金门42克拉玛依37上海x鄂尔多斯56苏州114巴彦淖尔61天津105库尔勒456石家庄93AQI平均值：135AQI平均值：90（1）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学
6、期望19（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面平面，且，是等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20（本小题满分12分）如图，已知点（1，0），直线l：x1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且错误！未指定书签。（1）求动点的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线L于点M，已知错误！未指定书签。错误！未指定书签。，求错误！未指定书签。的值。21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若，函数的图像上存在两点，其横坐标满足，且的图像在此两点处的切线互相垂直，求的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做
7、，则按所做的第一题计分22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（1）写出曲线C的普通方程，并写出以曲线C的圆心角为参数的参数方程；（2）用经过原点的弦长t为参数，写出曲线C的参数方程23（本小题满分10分）选修45：不等式选讲定义在上的函数恒成立，（1） 求的范围；（2）若是正实数，且满足，求证：.陕西省西安中学2019届高三第二次模拟数学（理）试题参考答案1.D【解析】由题可知集合2.D3.B【解析】当n=0时，x=1,y=2，继续循环；当n=1时，x=3,y=5;继续循环；当n=2时，x=6,y=8;继续
8、循环；当n=3时，x=9,y=11;继续循环；当n=4时，x=12,y=14继续循环；当n=5时，x=15,y=17;退出循环；故答案n=5.4.C【解析】由题整理得，而以故， ，故，故5.C【解析】由题可知，所以6. D7. B 【解析】，则，则，所以，若存在，使得成立，则，所以8.D【解析】由题，9. A【解析】作出不等式组表示的可行域如图所示，当10.B【解析】以O为原点，OA所在直线的正方向为y轴，OD所在直线为正方向为x轴建立直角坐标系，则11.D12. B 【解析】令，因为“至少存在一个1，e，使成立”，所以有解，则即；令，则在恒成立，则13.10%，有关【解析】接受挑战不接受挑战
9、总计男生 24 31 55女生 8 26 34总计 32 57 89大于2.706，所以有90%的把握即出错不超过10%的前提下认为冰桶挑战赛与受邀者的性别有关。14. 15.【解析】因为，所以，因为，所以设E是椭圆C的右焦点，连接AE，BE，则四边形FAEB为平行四边形，根据椭圆定义知，所以离心率16. 【解析】设A,C两点对球心张角为，由题，由余弦定理可得AC=，所以AC为ABC所在平面小圆的直径，所以则球心到平面ABC的距离为17. 解： (1)作MCAB,垂足为C,由已知=60,=30,所以ABM=120,AMB=30,所以BM=AB=4,MBC=60,所以MC=BMsin 60=23
10、.5时,即,即时,该船没有触礁危险. 18. 解：（1）x82 2分D东部D西部 3分（2）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个根据题意的所有可能取值为： 4分,， 10分的分布列为：所以 12分19. 解：（1）在中，所以，又是等边三角形，所以，所以，即，又因为平面平面，平面平面，所以平面，故. 在中，所以. 又因为，所以平面. .6分（2）解法一：如图，取的中点，连接.则在等腰中，.又因为平面平面，平面平面，所以平面.过点作的平行线，则平面. 由（1）知，故以为坐标原点，以直线、分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设，则在中，.又在中，所以，故. 又因为是等边三角形，所以. 所
11、以，即.所以，. 设平面的法向量为，则由，得.令，得.故为平面的一个法向量.因为平面，故为平面的一个法向量. 故.设二面角为，则由图可知，所以. .12分解法二:，取的中点，连接，连接并延长，交于，连接.则在等腰中，.又因为平面平面，平面平面，所以平面.设，则在中，.又在中，所以，故. 中，所以，且.故，又，且，所以，故. 又因为平面，由三垂线定理可得，所以为二面角的平面角. 在中，所以.故.所以在中，故.二面角的余弦值为. .12分20. 解法一：（）设点，则，由得：，化简得.（）设直线的方程为： .设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.（）由已知，得.则：.过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：.由得：，即.21. 解：1）函数的定义域为， 当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值；当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值;当时，令得： 当时，原函数单调递增；当时，原函数单调递减所以的极大值为 （2） 由知，当时 函数图像上存在符合要求的两点，必须，得：；当时，函数在点处的切线斜率为；当时，函
