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1、lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为 lingo10。一、用 lingo 软件求解线性规划例 1 ：max z = 2 x + 3 ys.t 4x + 3y 103 x + 5 y 0在模型窗口输入：model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y=10;3*x+5*y 0在模型窗口输入：model: max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80;x1+x2+x5=45;end运行（solve）结果如下：215.00000.0000003Global opt
2、imal solution found. Objective value:Infeasibilities:Total solver iterations:VariableX1X2X3X4X5Value35.0000010.0000025.000000.0000000.000000Reduced Cost0.0000000.0000000.0000001.0000003.000000RowSlack or SurplusDual Price1215.00001.00000020.0000000.00000030.0000001.00000040.0000003.000000例3min z = -
3、 x + 2 x23s. x 一 2x + x = 21 2 3x 一 3 x + x = 1234x 一 x + x = 2235x 0在模型窗口输入 model: min=-x2+2*x3; x1-2*x2+x3=2; x2-3*x3+x4=1; x2-x3+x5=2;end 运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value:Infeasibilities:Total solver iterations:-1.5000000.0000002例 4 ：（非线性）VariableValueReduced CostX22.5000000.0
4、00000X30.50000000.000000X16.5000000.000000X40.0000000.5000000X50.0000000.5000000RowSlack or SurplusDual Price1-1.500000-1.00000020.0000000.00000030.0000000.500000040.0000000.5000000minx + y + zs.t.x + y 12x+z=4在模型窗口输入model: min=abs(x)+abs(y)+abs(z);x+y=1;2*x+z=4;free(x);free(y);free（z）;End求解器状态如下：（可
5、看出是非线性模型！）运行结果为：Linearization componentsadded:Constraints:12Variables:12Integers:3Global optimal solution found.Objective value:（最优解函数值）3.000000Objective bound:3.000000Infeasibilities:0.000000Extended solver steps:0Total solver iterations:3Varia（最优解）ValueReducedCostX2.0000000.000000Y-1.0000000.00000
6、0Z0.0000000.000000RowSlack or SurplusDual Price13.000000-1.00000020.0000001.00000030.000000-1.000000二、用lingo软件进行灵敏度分析实例max S = 60x + 30y + 20z8 x + 6 y + z 484x + 2 y +1.5 z 202 x +1.5 y + 0.5 z 8y 0在模型窗口输入：Lingo 模型：model: max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end()求解报告(
7、solution report)通过菜单LingoSolve可以得到求解报告(solution report)如下：Global optimal solution found at iteration: 0Infeasibilities: 0.000000280.0000Objective value:Total solver iterations:VariableValueReduced CostX 2.0000000.0000000.000000 5.000000Z 8.0000000.000000RoSwlack or Surplus1280.00002 24.000003 0.0000
8、004 0.0000005 5.000000Dual Price1.0000000.00000010.0000010.000000.000000分析Value,Reduced Cost. Slack or Surplus, Dual Price的意义如下：1、最优解和基变量的确定Value所在列给出了问题的最优解。由于基变量取值非零，因此Value所在列取值非零的决策变量x,z是基变量。2、差额成本Reduced Cost (或oppor tun it y cos t)所在列的三个数值表示当决策变量取值增加一个 单位时，目标函数值的减少量。例如：第2个数5表示当变量y增加一个单位时，最优目标函
9、 数值减少的量。例如：当y=l时，最优目标函数值为280-5=275。可通过如下模型可检验： model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;y=1;end注：（1）换一个角度说，就是目标函数中变量y的系数至少增加5,那么生产y才会有利！（2）基变量的Reduced Cost值为0,只有非基变量的Reduced Cost值才可能不为0；故 由value,和Reduced Cost值分析可知y为非基变量。3、松弛变量取值Slack or Surplus所在列的各数表示各行的松弛变量的取值。目标函数行
10、的Slack or Surplus值没啥意义，不用考虑。可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z+s1=48;4*x+2*y+1.5*z+s2=20;2*x+1.5*y+0.5*z+s3=8;y+s4=5;end4、对偶价格（影子价格）Dual Price所在列的各数表示相应约束条件的右端常数增加一个单位时，最优目标函数值 的增加量。注，只有紧约束行的Dual Price值不为0。例如：要检验第三行约束，可通过 如下模型：model:max=60*x+30*y+20*z; 8*x+6*y+z48; 4*x+2*y+1.5*z21; 2*x+1.5
11、*y+0.5*z8; y5;end（二）灵敏度分析报告首先设置： LingoOptionsGeneral solverDual computationsPrices and Range。当求解完成后，最小化求解报告窗口，然后点击菜单LingoRange，可得灵敏度分析报告：Ranges in which the basis is unchanged:ObjectiveCoefficient RangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX60.0000020.000004.000000Y30.000005.0
12、00000INFINITYZ20.000002.5000005.000000Righthand Side RangesRHSIncrease Decrease248.00000INFINITY 24.00000320.000004.0000004.00000048.0000002.0000001.33333355.000000INFINITY5.000000RowCurrentAllowableAllowable分析 Objective Coefficient Ranges，Righthand Side Ranges 的意义如下：（不 必控制变量，可以同时改变多个值）1、目标函数中系数的变化对最优基的影响Objective Coefficient Ranges 表示目标函数行各系数在某个范围内变化时， 最优基保持不变。以变量X的系数为例：当x的系数在（60-4 60 + 20）内取（开区间）值时，最优基保持不变。此时，最优解不变，最优目标函数值变了。例如：可通过如下模 型检验：model: max=56.0001*x+
