弹性力学参考

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1、弹性力学参考教学参考资料（一）本章的学习要求及重点1. 弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与 材料力学的区别。2. 弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规 定等，及其与材料力学相比的不同之处。3.弹性力学的几个基本假 定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。（二）本章内容提要1. 弹性力学的内容一弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边 界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2. 弹性力学中的几个基本物理量：体力 分布在物体体积内的力、记号为fxfyfz。量纲为L- 2MT-2，以坐标正向为正。面力分布在物体表面上的力，记号 为fxfyfz。量纲为L-2

2、MT-2，以坐标正向为正。应力 单位截面面积上的内力，记号otxy，量纲为L- 2MT-2，以正面正向为正，负面负向为正；反之为负。形变用线应变sx，y和切应变Yxy表示，量纲为1，线应 变以伸长为正，切应变以直角减小为正。位移 一点位置的移动， 记号为u，v，w，量纲为L，以坐标正向为正。3.弹性力学中的基 本假定？理想弹性体假定一连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。小变 形假定。4.弹性力学问题的研究方法已知：物体的边界形状，材料性质，体力，边界上的面力或约束。 求解：应力、形变和位移。解法：在弹性体区域V内，根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段 上应变和位移的几何条件

3、，建立几何方程；根据应力和应变之间的物 理条件，建立物理方程。在弹性体边界S上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约 束条件，建立位移边界条件。然后在边界条件下，求解区域内的微 分方程，得出应力、形变和位移。（三）弹力的发展简史与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人 们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错 误到正确的演变历史。许多数学家、力学家和实验工作者做了幸勤的 探索和研究工作，使弹性力学理论得以建立，并且不断地深化和发展。1. 发展初期（约于16601820）这段时期主要是通过实验探 索了物体的受力与变形之间的关系。1678年，胡克通过实验，发现

4、了 弹性体的变形与受力之间成比例的规律。1807年，杨做了大量的实 验，提出和测定了材料的弹性模量。伯努利1705）和库仑（1776） 研究了梁的弯曲理论。一些力学家开始了对杆件等的研究分析。2. 理论基础的建立（约于18211855）这段时间建立了线性 弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入的研究。纳维（1820） 从分子结构理论出发，建立了各向同性弹性体的方程，但其中只含一 个弹性常数。柯西（1820 1822）从连续统模型出发，建立了弹性力 学的平衡（运动）微分方程、几何方程和各向同性的广义胡克定律。 格林（1838）应用能量守衡定律，指出各向异性体只有21个独立的 弹性常数。此后，

5、汤姆逊由热力学定理证明了上述结果。同时拉梅等 再次肯定了各向同性体只有两个独立的弹性常数。至此，弹性力学建 立了完整的线性理论，弹性力学问题已经化为在给定边界条件下求解 微分方程的数学问题。3. 线性理论的发展时期（约于1851907）在这段时期，数学家 和力学家应用已建立的线性弹性理论，去解决大量的工程实际问题，并由此推动了数学分析工作的进展。 圣维南（18541856）发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，并提出了 圣维南原理。艾里（1862）提出了应力函数，以求解平面问题。赫兹 （1882）求解了接触问题。克希霍夫（1850及以后）解决了平板的 平衡和震动问题。还有，爱隆对薄壳作了一系列工作等

6、等。弹性力学 在这段时期得到了飞跃的发展。4. 弹性力学更深入的发展时期（1907至今）1907年以后，非线 性弹性力学迅速地发展起来。卡门（1907）提出了薄板的大挠度问题； 卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工作者还提出了大 应变问题，非线性材料问题（如塑性力学等）等等。同时，线性弹性 力学也得到进一步的发展，出现了许多分支学科，如薄壁构件力学、 薄壳力学、热弹性力学、粘弹性力学、各向异性弹性力学等。弹性力学的解法也在不断地发展。首先是变分法（能量法）及其 应用的迅速发展。贝蒂（1872）建立了功的互等定理，卡斯蒂利亚诺 （18731879）建立了最小余能原理，以后为了求解变分问

7、题出现了 瑞利一里茨（1877，1908）法，伽辽金法（1915）。此外，赫林格和 瑞斯纳（1914, 1950）提出了两类变量的广义变分原理，胡海昌和鹫 津（1954，1955）提出了三类变量的广义变分原理。其次，数值解法也广泛地应用于弹性力学问题。迈可斯（1932） 提出了微分方程的差分解法，并得到广泛应用。在20世纪30年代及以后，出现了用复变函数的实部和虚部分 别表示弹性力学的物理量，并用复变函数理论求解弹性力学问题的方 法，萨文和穆斯赫利什维利作了大量的研究工作，解决了许多孔口应 力集中等问题。1946年之后，又出现了有限单元法，并且得到迅速的发展和应 用，成为现在解决工程结构分析的

8、强有力的工具。弹性力学及有关力学分支的发展，为解决现代复杂工程结构的分 析创造了条件，并促进了技术的进步和发展。（四）弹力的主要解法1. 解析法一根据弹性体的静力学、几何学、物理学等条件，建 立区域内的微分方程组和边界条件，并应用数学分析方法求解这类微 分方程的边值问题，得出的解答是精确的函数解。2. 变分法（能量法）一根据变形体的能量极值原理，导出弹性 力学的变分方程，并进行求解。这也是一种独立的弹性力学问题的解 法。由于得出的解答大多是近似的，所以常将变分法归入近似的解法。3. 差分法一是微分方程的近似数值解法。它将弹力中导出的微分 方程及其边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解。4.

9、有限单元法一是近半个世纪发展起来的非常有效、应用非 常广泛的数值解法。它首先将连续体变换为离散化结构，再将变分原 理应用于离散化结构，并使用计算机进行求解的方法。5.实验方法 一模型试验和现场试验的各种方法。对于许多工程实际问题，由于边界条件、外荷载及约束等较为复 杂，所以常常应用近似解法一变分法、差分法、有限单元法等求解。第二章教学参考资料（一）本章学习要求及重点本章系统地介绍了平面问题的基本理论：基本方程和边界条件， 及两种基本解法。这些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。因此， 学好平面问题的基本理论，就可以方便地学习其他各章。为此，我们 要求学生深入地理解本章的内容，掌握好以下几点：1

10、.两类平面问 题的定义。2. 在平面区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立。3. 在平面边界上的位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应 用。4.按位移求解方法和按应力求解方法。5.关于一点应力状态 的分析。为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求学生做到:（1） 清楚地了解上述有关问题的提出和分析的方法；（2）自己动手推导 公式，以加深理解；（3）对上述内容进行总结，掌握其要点。（二） 本章内容提要1. 平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们的特征是： 平面应力问题，（1）（2）应力和应变均只是 平面应变问题，（1）只有平面应变函数。存在；只有的函数。平面应力存在；（2）

11、应力、应变和位移只是的平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板，而平面应变问题 对应的弹性体通常为常截面长柱体。这两类平面问题的平衡微分方程、 几何方程、应力和位移边界条件都完全相同，只有物理方程的系数不 同。如果将平面应力问题的物理方程作方程。2. 平面问题的基本方程和边界条件（平面应力问题）平面问题 中共有八个未知函数，即（1）平衡微分方程的变换，便可得到平面应变问题的物理。它们必须满足区域内的基本方程：（2）几何方程（3）物理方程和边界条件：（1）应力边界条件（在（2）位移边界条件（在3. 按位移求解平面问题（平面应力问题）位移分量u和v必须 满足下列全部条件：（1）用位移表示的平衡微分

12、方程上）上）（2）用位移表示的应力边界条件（在（3）位移边界条件（在4. 按应力求解平面问题（平面应力问题）应力分量（1）平衡微分方程必须满足下列全部条件：上）上）（2）相容方程（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，）（在5. 在常体力情况下，按应力求解可进一步简化为按应力函数（1） 相容方程（2）应力边界条件（假设全部为应力边界条件，）。上）求解。必须满足下列全部条件：（在（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。求出应力函数后，可以按下式求出应力分量，上）（三）按位移求解的简化按应力求解平面问题，原先具有三个未知函数应力函数。艾里求出了平衡微分方程的通解，可以用的过程，也就证明了的存在

13、性。应满足表示三个应力分量，且能完全满足平衡微分方程。导出因此，按应力求解平面问题，均可改为按应力函数的相容方程也 化为较简单的重调和方程求解：其中的未知函数只有一个，且在按位移求解平面问题中，许多力学家也想找出更简便的途径。下面介绍两种方法，可用来简化平面问题按位移求解的方法。（1）引用位移势函数的方法 假定位移是有势的，即位移分量可以分别用一个势函数的导数来表示，将上式代入按位移求解的平衡微分方程，得出若不计体力，则上述方程可以归纳为其中C为任意常数。于是，求解平衡微分方程的解答得出位移，就化为求解泊松方程（b）的解答，求出后，可由式（a），再由几何方程和物理方程得出应力，并使它们分别满足

14、位移或 应力边界条件。，使原先的两个未知函数，简化为一个位移势函数。引用位移势函数它应满足的泊松方程也简单得多，因而使求解的方法得到简化。 其局限性是，其中人为地假定了位移是有势的，且使相应的体积应变（2）引用位移函数的方法假定位移分量可以用位移函数和表示为如下形式：，即弹性体中各点的体积应变均等于同一常量。将式（c）代入用位移表示的平衡微分方程，若不计体力，就得到于是，求解位移分量的问题，就化为求解位移函数的问题。都是重调和函数，应满足重调和方程（d）。求出位移函数移或应力边界条件。后，便可以得出位移和应力分量，并使它们分别满足位引用位移函数，同样可以使求解的方程得到简化，如式（d）所 示。

15、但位移的表达式（c）同样是假定的，只能用来求解某些问题，而 不能代表任何问题的解都符合式（c）的假定，即不具有普遍性。（四） 平面问题的位移连续性条件DD相容方程的导出这里仿照空间问题 相容方程的导出，给出平面应变问题（于相容方程的导出和证明。（1） 位移函数位移函数a.必须存在；b.而且相容。（2）求出的导数。存在（有解），则必然连续，即具有连续性。，只有且仅为的函数）中关具有连续性的充分必要条件是，其导数由几何方程，并引入微分体的转动分量出，由切应变和转动分量两式，得（3）的导数必须满足相容性条件，即将式（e）、（f）代入式（g），整理后得由此可见，从（4）转动分量导数的相容性条件导出，式（h）必须成立。存在且具有连续性 的条件是，的导数存在。a.其导数存在一从式（h）可见，只要形变分量存在，则b.其导 数必须相容，即满足将式3）代入式（i），整理后便得出这就是平面问题的相容方程。（5）归纳起来讲，位移存在且具有连续性的条件是，形变分量满足相容方程（j）。第三章教学参考资料（一）本章学习重点及要求本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数