《《最短路径问题在二次函数中的应用》教学设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《最短路径问题在二次函数中的应用》教学设计（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最短路径问题在二次函数中的应用教学设计一、教学内容 ：中考复习专题最短路径问题在二次函数中的应用二、教学目标 ：知识与能力目标：掌握“最短路径问题”这一类问题的解决方法，并能综合运用轴对称的性质、线段的性质，函数有关的知识，建构数学模型解， 决二次函数应用问题。过程与方法：经历有关解决二次函数“最短路径”问题的过程，提高学生分析问题、 解决问题的能力，进一步强化分类、归纳、综合的数学思想，发展 学生的应用和自主探究意识。情感态度与价值观：通过对解决二次函数“最短路径”问题的解决，了解专题复习的方法，享受学习的快乐，树立学好数学的信心。教学重点：抓住问题的本质，提炼求线段之和最短的方法，并综合运
2、用函数有关知 识解决问题。教学难点：由一个动点到两个动点的转变，由两条线段之和最短问题转变到三条线 段之和最短问题。三、教学方法 ：自主探究、合作交流 教学手段 ：多媒体课件四、教学过程 ：（一）基础回顾：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小（1）、点 A、B 在直线 m 两侧APmB图 1（2）点 A、B 在直线 m 异侧 A BPB 图 2m设计意图：通过画图回顾本节课要用到的一些基本知识，并由此衍生出一系列与轴 对称知识有关的练习，帮助学生回忆知识点。（二）例题展现例 1 ：如图 3,抛物线 y= x2 -2x -3 与 X 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C
3、点，直线 L 是它的对称轴，点 D（2，-3），P 是直线 L 上一个动点，当点 P 运动到什 么位置时使 PB+PD 最短？请求出点 P 的坐标。分析 ：如图 3,此题可以把 B、D 两点看作是图 2 中的情况，在对称轴上找点 P， 使得 PB+PD 最短，因此，作出 B 点关于对称轴 L 的对称点，而抛物线上的点 A 恰好是其对称点，因此连接 AD 交对称轴 L 于点 P，此时直线 L 上的 P 点与 B、 D 距离和最短，其最短距离和即为 AD 的长，P 点坐标：先通过 A、D 两点的坐 标求出直线 AD： y=x1 与对称轴 L：x=1 交点就是 P（1,-2）yAxOBpC D图 3
4、变式 ：在上述问题中可改为：是否在抛物线对称轴上存在一点P，使得PDB 的 周长最小，若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由。设计意图：通过例1，培养学生运用数形结合通过最短路径问题的知识解决函数 问题中“最短路径“问题并且发展学生的观察能力和语言表达能力。（三）知识点的引申把上述例题 A 中的一个动点向两个动点引申，距离和的最小值又会如何？如4图， P 点是直线 l 上的一动点，A 点是直线 m 的另一个动点，A 是定点，问 P 点在何 位置时，AP+BP 取最小值？FAPlAEP1Pl图 4Bm图 5Bm分析 ：触类旁通，仿照上述例题A，要求作的动点在直线 l 上，把 l 当作对
5、称轴， 作出图 5，AP1+BP1 的最小值即线段 BF 的长，但 A 是动点，P1 也是动点，当 P1 在何位置时 BF 最小，由对称性可知，动点A 的对称点 F 都在一射线 OF 上，如图6 所示，并且FOEAOE，即射线 l 是FOA 的角平分线 ，因此要使 BF 最小， 利用垂线段性质可确定距离和的最小值,即过 B 作射线 OF 的垂线段，垂足为F1， 交 l 于点 P2,，P2 即要找的一个动点，反之，F1 的对称点是 A1,于是动点 A1、 P2 在如图 7 所示的位置时，A1P2+BP2 最小，即 BF1 最小。FF1OAEP1PlOFEPP2lBmAA1图图B m例 2：如图，
6、已知抛物线的顶点坐标为 M（1,4），且经过点 N（2,3），与 X 轴交 于 A,B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，直线 CM 交 X 轴于点 D。（1）（2）求抛物线的解析式及点 A，B，C 的坐标；若点 Q 是MDB 的角平分线上的一动点，点R 是线段 BD 上的一动点，Q,R 在何位置时，BQ+QR 有最小值。请求出这个最小值及Q 点的坐标。yyMMCCGQD ABxD AB xOO R图 8图 9分析 ：（1）如图，利用抛物线的顶点式容易得：解析式 y =-x2 +2 x +3 ，A(-1,0) B(3,0) C(0,3)(2) 如图 9，求作的动点在MDB
7、 的角平分线上，把它当作对称轴，作出如图 9,直线 CM 解析式容易得出：y=x+3,其 k1,则MDB 450,直接利用上述结论得出 BQ+RQ 有最小值为 BG，由 （-3,0D ）得 DB6,所以 DR=DG=BG= 3 2 , 根据图形容易得出 Q 点的坐标为（ 3 2 3,6 3 2 ）设计意图：通过例 2，由一个动点到两个动点的转变，使学生对求线段之和最短 这一类问题的解决方法加以巩固。变式 ：如图，二次函数 y =ax2+bx +c ( a 0) 的图像与 y 轴交于点 C（0,4），与 x（1）（2）轴交于点 A,B,点 B（4,0 ），抛物线的对称轴为 x1.直线 AD 交抛
8、物线于点 D（2,m）。求二次函数的解析式并写出 D 点坐标；抛物线与 y 轴交于点 C，直线 AD 与 y 轴交于点 F，点 M 为抛物线对称轴 上的动点，动点 N 在 x 轴上，当四边形 CMNF 周长最小值时，求出最小 值和满足条件的点M 和点 N 的坐标。CyF MDyC DFMAO NBxAON B xF图 10图 11分析 ：（1）如图 10，利用抛物线的对称性得：点 A（-2,0），利用抛物线的交点式容易得解析式：y =-12x2+x +4 ,当 x 2 时，m4,所以 D 点坐标为（2,4）（2）如图 11，先画草图分析，要使四边形CMNF 的周长最小，则须CM+MN+NF 最
9、小，这就要把这三条线段拼成一条线段，通过以上分析，分别把两个动点所在的 直线作为对称轴，作出它们的对称点，经观察点 D 是 C 点关于抛物线的对称轴 的一对对称点，则 DM=CM，这样点 D、M、N 能在一直线上，若 FN 也能拼在 这条直线上也就完成任务了，于是想到作点 F 关于 x 轴的对称点 P,连接 DP， 分别交抛物线的对称轴及 x 轴于点 M，N，即两个动点 M、N 是由两个对称点决定的，于是我们得出作图步骤，如图 11,分别作出两定点 C、F 关于抛物线的对 称轴和 x 轴的对称点 D、P，再连接 DP 分别交两对称轴于点 M 和 N，再构造四 边形 CMNF，此时其周长最小。为
10、 PD+CF，因为 CF2,CD=2,PC=6,得出 PD 2 10 ，所以最小值 PD+CF=2+ 2 10设计思路：通过对最短路径问题的引申、拓展，培养学生的自主学习，培养学生良 好的数学悟感，培养学生联想、类比能力，并且让学生在小组讨论的 过程中，开发更多的数学思维。五、课堂小结：学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获、交流学习过程 中体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小 结。六、课后反思：发挥本节课内容的扩张作用，培养学生的发散思维和对数学的兴 趣，同时让学生接近中考，提高综合应用能力。设计思路:在生活当中遇到过很多最短路径的问题，本节课利用两点之间线段最短及借助轴对称复习最短路径问题的方法解决在二次函数中的最短距离问题，以提高学生发 现问题、解决问题的能力，培养学生类比、数形结合及数学建模等数学思想。通过学习 让学生体会数学来源于生活并服务于生活，增强学生学习数学的兴趣.
