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1、 直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围是0180.倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：3. 直线方程的五种形式 直线形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式不能表示与轴垂直的直线已知斜率已知一点 斜截式不能表示与轴垂直的直线已知斜率已知在轴上的截距 两点式不能表示与轴、轴垂直的
2、直线已知两个定点已知两个截距 截距式（分别为直线在轴和轴上的截距）不能表示与轴垂直、与轴垂直、过原点的直线已知两个截距（截距可以为负） 一般式表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程7斜率存在时两直线的平行：=且.8斜率存在时两直线的垂直： 9特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（ ） 任何一条直线都有唯一的倾斜角； 倾斜角为的直线有且仅
3、有一条； 若直线的斜率为，则倾斜角为； 如果两直线平行，则它们的斜率相等 A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 【练习】如果且，那么直线不通过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【例2】如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则()Aksin0 Bkcos0 Cksin0Dkcos0 【练习】图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2【例3】经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值范围。【练习】已知两点，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜
4、率的取值范围。【例4】若直线的方程为，则（ ）A. 一定是直线的倾斜角 B.一定不是直线的倾斜角C.一定是直线的倾斜角 D.不一定是直线的倾斜角【练习】设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）A. B. C. D.题型二：斜率的应用【例5】若点共线则的值为_.【练习】若三点 共线，则的值为_.【例6】已知实数满足，当时，求的最大值为_，最小值为_【练习】1、若，则（ ）A. B. C. D.2、 求函数的值域.题型三：两直线位置关系的判断已知，两直线斜率存在且分别为，若两直线平行或重合则有，若两直线垂直则有.【例7】已知直线的倾斜角为，直线经过点，判断直线与的位置关系.【练习】1、已知点，,，当为何
5、值时，直线与直线相互垂直？2、 已知直线经过点，直线经过点，若，求的值.【例8】在平面直角坐标系中，对，直线（ ）互相平行 互相垂直 关于原点对称 关于直线对称【练习】直线垂直，求的值.题型四：求直线方程（一） 点斜式【例9】根据条件写出下列直线的方程：（1） 经过点A(1,2),斜率为2；（2） 经过点B（1,4），倾斜角为；（3） 经过点C（4,2），倾斜角为；（4） 经过点D（3，2），且与x轴平行.已知直线过一点，可设点斜式【练习】已知中，于,求的直线方程.（二） 斜截式【例10】根据条件写出下列直线的方程：（1） 斜率为2，在y轴上的截距是5；（2） 倾斜角为，在y轴的截距为2；（3
6、） 倾斜角为，在y轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式：【练习】求斜率为，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线的方程.（三） 截距式【例12】根据条件写出下列直线的方程：（1) 在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为2；（2) 在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为4；与截距相关的问题，可设截距式【练习】直线过点，且在上的截距之比为1:2，求直线的方程.（四） 两点式【例11】求经过下列两点的直线方程：（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“两点确定一条直线”【练习】过点作直线，使他被两条已知直线所截得的线段被点平分.求直
7、线的方程.【例12】1、已知点A（3,3）和直线：.求：（1） 经过点A且与直线平行的直线方程；（2） 经过点A且与直线垂直的直线方程.2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A（1,0），B（2,0），C（2,3），试求AB边上的高的直线方程.(思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？）【例13】已知直线的斜率为2，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线的方程为_【练习】已知，直线经过点（5，4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线的方程为_【例14】直线不经过第三象限，其斜率为，在y轴上的截距为b（），则（ ）A. B. C. D.【练习】两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐
8、标系中的图象位置可能是（）A B C D 三、 课后练习选择题：1、若直线l：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A ，) B(，) C(，) D， 2、 已知直线l1：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则K的值是（）A1或3 B1或5 C1或4 D1或2 3、直线y=3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A B C D填空题：1、在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是 _（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线2、 若点在直线上的射影为，则直线的方程为_.3、 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.解答题：1、 设直线：，：，其中实数满足，证明与相交.2、 已知直线方程为，当，求此直线的方程.3、当时，直线：和两坐标轴围成一个四边形，问取何值时，这个四边形的面积最小?并求出最小面积.
