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1、挖掘隐性错误，提升解题能力（市规划课题深度学习理念下的高中数学有效教学研究研究论文）成宏伟（无锡市第六高级中学214023）教师在批改作业或者试卷时，常常会发现学生的答案中方法很多，但不同的方法中会出现多解或少解的情况，有的错误原因比较明显，很容易看出错误的原因，但有的却很难一下子看出。笔者在教学过程中就遇到了这样一道题：已知数列 an 的首项 a1a, Sn 是数列 an 的前 n 项的和，且满足： Sn23n 2an Sn21 ，an0 ， n2, nN ，若数列 an 是等差数列，求 a 的值 .以下是学生的几种解答：解答一：由数列 an 是等差数列，可设 ana(n1) d ,在 Sn
2、23n2 anSn21 中，令 n2 ,得 S2212a2S12 ，即 (2ad ) 212(ad )a2 ,化简得 3a 24ad12 a12d ；令 n3得2S22d ) 227(a 2d ) ( 2ad ) 2，化简得S3 27a3, 即 9(a5a 214ad8d 227a54d 联立，解出 a 和 d 的值 . 但由于这是一个二元二次方程组，由于没有找到相应的解决办法，都没有能得出结果 .解答二：由数列 an 是等差数列，可设 ana(n1) d ,在 Sn23n2 anSn21 中，令 n2 ,得 S2212a2S12 ，即 (2ad ) 212(ad )a2 ,化简得 3a 24
3、ad12 a 12d ；令 n3得 S3227a3S22,即 S32S2227a3 ， 化简得 ( S3S2 )a327a3 ，由于an0 ，所以两边同时除以a3 得 S3S227 ，即5a4d27，即 d27 5a （ * ），4将（ * ）代入式，化简得 a 230a810 ，解得 a3 或 a 27解答三：由数列 an 是等差数列，可设 ana(n1) d ,在 Sn23n2 anSn21 中，令 n2 ,得 S2212a2S12 ，即 S22S1212a2 ，即 (S2S1 ) a212a2 ，由于 an0 ，所以两边同时除以 a2 得 S2S112，即3ad12，即d123a （ *
4、 ），在 Sn23n2 anSn21中，令n2令n3得S3227a3 S22,即9( ad ) 227(a2d )(2ad )2 ，化简得 5a 214ad8d 227a54 d ，将（ * ）代入式，化简得5a 239a720 ，解得 a 3 或 a245解答四：由数列 an 是等差数列，可设 ana(n 1) d ,在 S 23n2 aS21中，令 n 2,nnn得 S222S1212a2，即 (S2S1 ) a2 12a2 ，由于 an0 ，所以两边12a2S12 ，即 S2同时除以 a2 得 S2S1 12，即 3ad12，令 n3 得S3227a3S22,即 S32S2227a3 ，
5、 化简得 ( S3S2 ) a327a3 ，由于an0 ，所以两边同时除以 a3 得 S3S227 ，即 5a 4d 27 联立，解得 a3 .笔者在评讲试卷时， 请同学代表分别在黑板上写出了四种解法，并请同学分析比较四种解法 .生甲：解答一虽然列出的方程，但由于方程未能解出，所以没能得出结果.生乙：解答二和解答三类似， 只不过解答二在 n 2 时将方程的两边的 a2 同时除掉，达到了化简的目的， 解答三在 n 3时将方程两边的 a3 同时除掉 , 也达到了化简的目的，但这两种解答得出的结果却不一样，但一时也看不出对错.生丙：解答四把解答二和解答三结合，计算简单易行 . 但比前面的解法都各少了
6、一个解 .师：后三种解法表面看起来都没什么问题，那为什么会出现不同答案呢？( 同学们都陷入了沉思 )师：同学们仔细分析一下，解答二和解答四的差异重要集中在哪里？（沉寂片刻）生：解答二对 n2 时，方程两边没有同时除以a2 。师：观察非常仔细，那解答三和解答四的差异集中在哪里呢？生：解答三和解答四的差异集中在解答三对n3 时，方程两边没有两边同时除以a3 .师：那问题很有可能出现在哪里？生： a2 和 a3 .师：思路正确，请同学们自己动手，看看 a2 和 a3到底问题出现在哪里 .( 同学们纷纷埋头演算，很快，有同学得出了结论)生：解答二中，当 a27 时， d27 ，此时 a20 与 an0
7、 矛盾，因此 a27 舍去，同理，解答三中，当 a24 时， d12 ,此时 a30 与 an0 矛盾，因此 a24 舍555去。这样解答二、三、四答案统一，得到a 3 .至此，问题似乎得到了解决，同学们露出了胜利的喜悦，但笔者并没有就此停止，而是提出了新的问题：以后我们遇到类似的题型时，如何避免前三种解法中出现的问题？同学们经过讨论，最终总结出了如下几种办法: 对于遇到能化简方程， 在不出现多解的情况， 应尽可能化简， 如移项，分解因式等； 对于出现多解的情况，要注意检验； 加强对错误原因的分析，提升解题能力.笔者肯定了同学们的办法.反思：通过这样的探讨，学生把原本模糊的解题方法得到了升华，更为重要的是，学生经过自主学习，讨论，学会了自主分析，为今后的解题奠定了良好基础.
